Formule de Riemann-von Mangoldt

En mathématiques, la formule de Riemann-von Mangoldt, du nom de Bernhard Riemann et Hans Carl Friedrich von Mangoldt, décrit la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann.

La formule indique que le nombre ${\textstyle N(T)}$ de zéros de la fonction zêta avec une partie imaginaire supérieure à ${\textstyle 0}$ et inférieure ou égale à ${\displaystyle T}$ satisfait

$${\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\ln {T}).}$$

Cette formule a été conjecturée par Riemann dans son mémoire Sur le nombre d'amorces inférieures à une ampleur donnée (1859) et a finalement été prouvée par von Mangoldt en 1895.

Backlund^[1] donne une forme explicite de l'erreur pour tout ${\displaystyle T}$ supérieur à ${\textstyle 2}$ :

$${\displaystyle \left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0.137\,\ln T+0.443\,\ln(\ln \,T)+4.350.}$$

• La fonction zêta de Riemann possède une infinité de zéros non triviaux.
• Si ${\displaystyle (\gamma _{n})_{n\geqslant 1}}$ désigne la suite croissante des parties imaginaires des zéros de la fonction ${\displaystyle \xi }$ de Riemann dans le demi-plan supérieur, alors ${\textstyle \gamma _{n}\sim 2\pi \,n/\ln \,n}$ pour ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$^[2]. Littlewood^[3] (1924) a montré que ${\displaystyle \gamma _{n+1}-\gamma _{n}\rightarrow 0.}$

• Harold Edwards, Riemann's zeta function, vol. 58, New York-London, Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics », 1974 (ISBN 0-12-232750-0, zbMATH 0315.10035)
• Aleksandar Ivić, The theory of Hardy's Z-function, vol. 196, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics », 2013 (ISBN 978-1-107-02883-8, zbMATH 1269.11075)
• S. J. Patterson, An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, vol. 14, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 1988 (ISBN 0-521-33535-3, zbMATH 0641.10029)

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