En mathématiques, l'intégration par parties (parfois abrégée en IPP) est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales. Elle est fréquemment utilisée pour calculer une intégrale (ou une primitive) d'un produit de fonctions. Cette formule peut être considérée comme une version intégrale de la règle du produit.
On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :
.
Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :
.
On obtient alors :
.
Choix des fonctions du produit
L'un des deux choix possibles pour les fonctions et peut s'avérer meilleur que l'autre.
.
Si l'on choisit et , on a et l'on peut prendre , d'où :
.
En revanche, si l'on choisit et , on a et l'on peut prendre , d'où :
.
On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale, elle s'y ramène cependant puisque .
Exemples
Effectuons le calcul de
grâce à une intégration par parties. Pour cela, posons u(x) = x, de telle sorte que u' = 1, et v' = cos, de telle sorte que v = sin, par exemple (c.-à-d. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient :
Il s'agit de la méthode classique[1] pour trouver une primitive du logarithme naturel :
Une double intégration par parties (l'intégrale obtenue par l'application de la formule se calcule elle aussi par une nouvelle intégration par parties) permet par exemple de montrer[1] que
et de même,
,
où le réel C est une constante d'intégration.
Intégration par parties tabulaire
Cette méthode également nommée « DI method » en anglais consiste à tracer un tableau avec trois colonnes, une colonne de signes + et - alternés, une colonne D et une colonne I, avec dans la colonne D des dérivations successives et dans la colonne I des intégrations successives. Cette méthode se base sur l'intégration par parties, et est surtout utile lorsqu'il s'agit de réaliser des intégrations par parties successives. Elle est présentée dans le livre[2] de Thomas et Finney, ainsi que dans un papier librement accessible[3]. Cette méthode est censée réduire les erreurs et réduire les étapes de calcul. Il y a 3 critères d'arrêts : soit une ligne du tableau comporte un 0, soit une ligne du tableau est identique à la première ligne (à des facteurs numériques près), soit le produit d'une ligne du tableau est facilement intégrable[4].
Les produits s'effectuent suivant une diagonale. Ainsi, pour intégrer , on peut construire le tableau suivant :
Étapes
+/-
Dérivées (D)
Primitives (I)
Produits
0
1
−
2
+
3
−
4
+
Détail des calculs
Le calcul se fait à l'aide de 4 intégrations par parties (la dernière étant d'ailleurs dispensable)
Un même type de tableau peut s'utiliser pour une intégration par parties qui boucle :
Étapes
+/-
Dérivées
Primitives
Produits
0
1
−
2
+
(ça boucle)
Généralisations
On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C1 par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
Plus généralement, si u et v sont n fois différentiables et si leurs dérivées n-ièmes sont réglées, on dispose de la « formule d'intégration par parties d'ordre n »[5] :
La démonstration[6] est essentiellement la même que ci-dessus, avec des dérivées définies seulement presque partout et en utilisant l'absolue continuité de v et uv.
Formules d'intégrations par parties à plusieurs variables
Il existe donc de nombreuses versions d'intégrations par parties concernant les fonctions à plusieurs variables, pouvant faire intervenir des fonctions à valeurs scalaires ou bien des fonctions à valeurs vectorielles.
Certaines de ces intégrations par parties sont appelées identités de Green.
où n est la normale sortante unitaire à . On a donc
.
On peut donner des hypothèses plus faibles: la frontière peut être seulement lipschitzienne et les fonctions u et V appartenir aux espaces de Sobolev et
Première identité de Green
Soit la base canonique de . En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à ui et vei où u et v sont des fonctions scalaires régulières, on obtient une nouvelle formule d'intégration par parties
En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à ui et vei et en sommant sur i, on obtient encore une nouvelle formule d'intégration par parties
.
La formule correspondante au cas où U dérive d'un potentiel u régulier:
↑Thomas, G. B.; Finney, R. L. (1988). Calculus and Analytic Geometry (7th ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. (ISBN0-201-17069-8).
↑Horowitz, David (1990). https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/Horowitz307-311.pdf (PDF). The College Mathematics Journal. 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368
↑Cette méthode est illustrée en vidéo sur la chaîne YouTube nommée blackpenredpen : Integration by parts, DI method, VERY EASY et une présentation plus détaillée se trouve sur la version anglophone de Wikipédia :en:Integration by parts#Tabular integration by parts