Liste de critères de divisibilité
Ceci est une liste de critères de divisibilité pour des nombres écrits en base décimale, premiers ou puissances de nombre premier, inférieurs à 100.
Ces critères sont exposés sans démonstration. Pour les démonstrations ou les méthodes ayant permis d'établir ces critères, voir l'article « Critère de divisibilité ».
Pour la divisibilité par un nombre composé dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers n = p1k1…prkr, il suffit d'appliquer la règle générale : un nombre est divisible par n si et seulement s'il est divisible par chacun des piki. Par exemple : un nombre est divisible par 12 seulement s'il est divisible par 3 et par 4.
Dans tout cet article, un entier naturel de n + 1 chiffres est représenté par an…a1a0, où a0 est le chiffre des unités, a1 des dizaines, a2 des centaines, etc.
Critère de divisibilité par 2, 5 ou 10 élevés à une puissance n
Tout nombre entier est divisible par 1.
Critère de divisibilité par 2n
Un nombre est divisible par 2n si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par 2n.
- Exemples
- Un nombre est divisible par 16 = 24 si et seulement si le nombre formé par ses 4 derniers chiffres est divisible par 16.
- Un nombre est divisible par 32 = 25 si et seulement si le nombre formé par ses 5 derniers chiffres est divisible par 32.
- Application : 87 753 216 864 est divisible par 32 car 16 864 est divisible par 32.
Critère de divisibilité par 5n
Un nombre est divisible par 5n si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par 5n.
- Exemples
- Un nombre est divisible par 25 = 52 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25, c'est-à-dire si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75.
- Application : 258 975 est divisible par 25 car il se termine par 75.
- 257 543 625 est divisible par 53 = 125 car 625 est divisible par 125.
Critère de divisibilité par 10n
Pour n non nul, un nombre est divisible par 10n si et seulement si ses n derniers chiffres sont égaux à 0.
- Exemple
- 652 500 000 est divisible par 105 car ses 5 derniers chiffres sont des 0.
- 652 50 est divisible par 101 car son dernier chiffre est un 0.
Entiers inférieurs à 10
Divisibilité par : | Énoncé du critère : | Exemple : |
---|---|---|
2 | Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2 = 21, si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. | 168 est pair car il se termine par 8 qui est pair. |
3 | Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. (Par récurrence, cela implique que son résidu est 3, 6, ou 9.) | 168 est divisible par 3 car 1 + 6 + 8 = 15, 1 + 5 = 6 et 6 est divisible par 3. |
4 | Un nombre est divisible par 4 = 22 si et seulement si 2a1 + a0 est divisible par 4. | 2 548 est divisible par 4 car 2 × 4 + 8 = 16 qui est divisible par 4. |
5 | Un nombre est divisible par 5 = 51 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5. | 235 est divisible par 5 car il se termine par 5. |
6 | Un nombre est divisible par 6 si et seulement s'il est divisible par 2 et par 3. | 168 est divisible par 6, car il est pair et divisible par 3. |
7 | an…a1a0 est divisible par 7 si et seulement si an…a1 – 2a0 l'est (pour d'autres critères, voir section suivante). | 182 est divisible par 7 car 18 – 2 × 2 = 14 l'est. |
8 | Un nombre est divisible par 8 = 23 si et seulement si 4a2 + 2a1 + a0 est divisible par 8. | 636 136 est divisible par 8 car 4 × 1 + 2 × 3 + 6 = 16 qui est divisible par 8. |
9 | Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. | 423 est divisible par 9 car 4 + 2 + 3 = 9 l'est. |
10 | Un nombre est divisible par 10 = 101 si et seulement si son chiffre des unités est 0. | 270 est divisible par 10 car il se termine par 0. |
Critères de divisibilité par 7
Lemmes de divisibilité par 7
Première méthode : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la somme de son nombre de dizaines et de cinq fois son chiffre des unités l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 56 (= 7 × 8). Le nombre est divisible par 7 si et seulement si le résultat final l'est.
- Exemple
- 17 381 est divisible par 7 car
- 1738 + 5 × 1 = 1743,
- 174 + 5 × 3 = 189,
- 18 + 5 × 9 = 63 et
- 6 + 5 × 3 = 21 = 7 × 3.
Deuxième méthode : Un nombre est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités l'est. Si cette différence est négative, on peut la remplacer par sa valeur absolue. En répétant cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 14, le nombre de départ est divisible par 7 si et seulement si le résultat final est 0 ou 7.
- Exemple
- 17 381 est divisible par 7 car
- 1738 – 2 × 1 = 1736,
- 173 – 2 × 6 = 161,
- 16 – 2 × 1 = 14 et
- |1 – 2 × 4| = 7.
Critère pour un grand nombre
Une méthode, basée seulement sur le fait que 103 est congru à –1 modulo 7, est de séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et ce résultat est divisible par 7 si et seulement si le nombre de départ l'était.
- Exemple
- Soit le nombre 5 527 579 818 992.
- On le sépare par tranches de trois chiffres à partir des unités :
- 5 | 527 | 579 | 818 | 992.
- On intercale alternativement des – et des + :
- 5 – 527 + 579 – 818 + 992.
- On effectue l'opération ainsi écrite :
- 5 – 527 + 579 – 818 + 992 = 231.
- On regarde si 231 est divisible à l'aide du lemme de divisibilité par 7 :
- 23 + 5 × 1 = 28 est divisible par 7 donc 5 527 579 818 992 l'est.
Comme 1001 est le produit de 7, 11 et 13, la même méthode s'applique pour 11 et 13.
Méthode de Toja
Cette méthode est basée sur le fait que 103 est congru à –1 modulo 7, dont on déduit que
donc x est divisible par 7 si et seulement si y l'est. On peut bien sûr remplacer au passage chaque bi par n'importe quel entier qui lui est congru modulo 7. Le principe[1] est donc de découper le nombre x par tranches de 2 chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de 2 chiffres et le multiple de 7 le plus proche (alternativement par excès et par défaut).
- Exemple
- Soit le nombre 5 527 579 818 992.
- On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités :
- 5|52|75|79|81|89|92.
- À partir de la droite, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 91 : distance 92 – 91 = 1.
- Pour la deuxième paire, le multiple de 7 le plus proche par excès est 91 : distance 91 – 89 = 2.
- Pour la troisième paire, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 77 : distance 81 – 77 = 4
- Pour la quatrième paire, distance : 84 – 79 = 5, etc.
- Le nombre de départ est multiple de 7 si et seulement si
- 1|2|4|5|5|4|5
- est multiple de 7 (les différents « restes » sont écrits dans l'ordre inverse).
- On trouve de même que la divisibilité par 7 de 1 245 545 équivaut à celle de 3 136, puis de 14, donc 5 527 579 818 992 est divisible par 7.
Méthode rapide
Comme dans le calcul du nombre modulo 7 par la méthode de Toja, on va regrouper les chiffres par groupe de 2, en partant de la droite. Ici on va utiliser le fait que 100 vaut 2 modulo 7.
La première étape, valable d'ailleurs pour toutes les méthodes, consiste à remplacer tous les chiffres par leur valeur modulo 7. Autrement dit à remplacer le 7 par 0, le 8 par 1, le 9 par 2.
- Soit le nombre 5 527 579 818 992.
- On le remplace par 5 520 502 111 222.
Dans la deuxième étape on regroupe les chiffres par 2 pour créer des nombres de 0 à 66.
- 5|52|05|02|11|12|22.
On les calcule modulo 7
- 5|3|5|2|4|5|1.
C'est l'écriture du nombre base 2, avec des chiffres de 0 à 6. On va utiliser la méthode de Horner : on dépile le chiffre le plus à gauche que l'on ajoute au nombre en cours (0 au départ) et on multiplie par 2.
Chaque ligne de calcul se fait aisément de tête, et chaque résultat intermédiaire peut être inscrit sur une seconde ligne :
- 5|3|5|2|4|5|1
- 5|6|3|1|6|3|0
On obtient 0, le nombre est divisible par 7.
Utilisation d'un diagramme
Cette technique[2] s'appuie sur l'écriture du nombre en base 10 et sur les congruences modulo 7. L'utilisation d'un diagramme est proposée en 2009 par David Wilson[3],[4]. Sur un cercle, on dispose tous les nombres de 0 à 6, c'est-à-dire tous les restes possibles modulo 7. On relie ensuite par une flèche chaque reste r avec le reste modulo 7 de r ×10.
Le diagramme s'utilise alors de la manière suivante : pour l'entier an…a1a0, égal à (…((an × 10 + an–1) × 10 + an–2) × 10 + …) × 10 + a0,
- on se place sur la case 0 et l'on se déplace sur le cercle de an cases. On obtient ainsi le reste de an modulo 7 ;
- on emprunte alors la flèche qui part de la case où l'on se trouve et, à partir du point d'arrivée de la flèche, on se déplace sur le cercle de an–1 cases. On obtient ainsi le reste de an × 10 + an–1 modulo 7 ;
- on recommence alors le processus (emprunt d'une flèche, puis déplacement sur le cercle) jusqu'à a0. On obtient alors le reste modulo 7 de (…((an × 10 + an–1) × 10 + an–2) × 10 + …) × 10 + a0.
Le nombre est divisible par 7 si et seulement si la case d'arrivée est la case 0.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Schema_modulo_7.svg/220px-Schema_modulo_7.svg.png)
- Exemple
- Pour le nombre 17381.
- On passe de 0 à 1.
- On emprunte la flèche qui mène de 1 à 3 et l'on se déplace de 7 cases (i. e. on reste sur place). On se trouve en 3.
- On emprunte la flèche qui mène de 3 à 2 et l'on se déplace de 3 cases. On se trouve en 5.
- On emprunte la flèche qui mène de 5 à 1 et l'on se déplace de 8 cases (i. e. on se déplace d'une case). On se trouve en 2.
- On emprunte la flèche qui mène de 2 à 6 et l'on se déplace d'une case. On se trouve en 0. Le nombre est bien divisible par 7.
Remarque : cette méthode peut se généraliser à toute autre divisibilité par d et à toute autre base b en construisant le diagramme adapté (les nombres de 0 à d – 1 sur le cercle, des flèches reliant r au reste modulo d de r × b).
Critère de divisibilité par 11
Première méthode
Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :
- on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
- on calcule la somme B des chiffres en position paire ;
N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.
Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.
Exemple
Considérons le nombre 19 382.
- A = 1 + 3 + 2 = 6
- B = 9 + 8 = 17
- B – A = 17 – 6 = 11 est divisible par 11 donc 19 382 l'est aussi.
On peut également effectuer le calcul : 1 – 9 + 3 – 8 + 2 = –11.
« Mini-critère »
Un nombre de trois chiffres est divisible par 11 si et seulement si la somme des deux chiffres extrêmes est égale au chiffre du milieu (a2 + a0 = a1) ou à 11 plus le chiffre du milieu (a2 + a0 = 11 + a1).
- Exemples
- 374 est divisible par 11 parce que 3 + 4 = 7. Vérification : 374 = 11 × 34.
- 825 est divisible par 11 parce que 8 + 5 = 11 + 2. Vérification : 825 = 11 × 75.
Deuxième méthode
On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des + et l'on effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par 11 si et seulement si le nombre de départ l'était.
- Exemple
- Reprenons l'exemple précédent 19 382 ; on obtient :
- 1 + 93 + 82 = 176.
- Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :
- 1 + 76 = 77.
- 77 est divisible par 11 donc 19 382 l'est aussi.
Troisième méthode
Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et son chiffre des unités est divisible par 11.
Exemples
3432 est divisible par 11 car 343-2 = 341, 34-1 = 33 et 33 est divisible par 11.
73108 n'est pas divisible par 11 car 7310 - 8 = 7302, 730-2 = 728, 72 - 8 = 64 et 64 n'est pas un multiple de 11.
Démonstration
Soit n un entier naturel alors n s'écrit de manière unique n = 10 a + b où a est le nombre de dizaines et b le chiffre des unités.
n = 11a + b - a et donc n congru à 0 modulo 11 est équivalent à b - a congru à 0 modulo 11.
Critère de divisibilité par 13
Le critère de divisibilité par 13
Le nombre an…a1a0 est divisible par 13 si et seulement si an…a1 + 4a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 13, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 52 (= 4 × 13). Le nombre de départ est divisible par 13 si et seulement si le résultat final est 13, 26 ou 39.
- Exemples
-
- 312 est divisible par 13 car 31 + 4 × 2 = 39.
- 1 664 est divisible par 13 car 166 + 4 × 4 = 182 et 18 + 4 × 2 = 26.
Critère pour un grand nombre
Pour savoir si un grand nombre est divisible par 13, il suffit, puisque 103 est congru à –1 modulo 13 comme modulo 7, d'appliquer la même réduction que dans le deuxième des trois critères ci-dessus de divisibilité par 7 : séparer ce nombre par tranches de 3 chiffres en partant des unités et insérer alternativement des – et des + entre les tranches.
On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par 13 si et seulement si le grand nombre considéré l'était.
- Exemple
- Soit le nombre 1 633 123 612 311 854.
- On le sépare par tranches de trois à partir des unités :
- 1 | 633 | 123 | 612 | 311 | 854.
- On intercale alternativement des – et des + :
- 1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854.
- On effectue l'opération ainsi écrite :
- 1 – 633 + 123 – 612 + 311 – 854 = –1 664.
- Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue 1 664 et continuer.
- D'après l'exemple précédent, 1 664 est divisible par 13 donc 1 633 123 612 311 854 l'est aussi.
Critère de divisibilité par 15
Un nombre an…a1a0 est divisible par 15 si et seulement si (ou sa valeur absolue) l'est. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que et ce pour tout ce qui se démontre bien par récurrence. Si le nombre résultant du calcul est trop grand, il suffit de répéter l'opération.
- Exemples
-
- 35 910 est divisible par 15 car 0 + 10 × (1 + 9 + 5 + 3) = 180 est divisible par 15.
- 23 904 720 n'est pas divisible par 15 car 0 + 10 x (2 + 7 + 4 + 0 + 9 + 3 + 2) = 270 n'est pas divisible par 15.
Critère de divisibilité par 17
Un nombre an…a1a0 est divisible par 17 si et seulement si an…a1 – 5a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 17, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 51 = (3 × 17). Le nombre de départ est divisible par 17 si et seulement si le résultat final est 0, 17 ou 34.
- Exemples
-
- 3 723 est divisible par 17 car 372 – 5 × 3 = 357 et 35 – 5 × 7 = 0.
- 5 933 est divisible par 17 car 593 – 5 × 3 = 578 et 57 – 5 × 8 = 17.
Critère de divisibilité par 19
Le nombre an…a1a0 est divisible par 19 si et seulement si an…a1 + 2a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 19, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 38 (= 2 × 19). Le nombre de départ est divisible par 19 si et seulement si le résultat final est 19.
- Exemple
- 6 859 est divisible par 19 car 685 + 2 × 9 = 703, 70 + 2 × 3 = 76 et 7 + 2 × 6 = 19.
Critère de divisibilité par 21
Critère immédiat
Un nombre est divisible par 21 si et seulement s'il est divisible par 7 et par 3.
Lemme de divisibilité par 21
Le nombre an…a1a0 est divisible par 21 si et seulement si an…a1 – 2a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Cette transformation est la même que la première indiquée pour la divisibilité par 7 (§ « Entiers inférieurs à 10 »). Pour voir si un nombre est divisible par 21, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 21. Le nombre de départ est divisible par 21 si et seulement si le résultat final est 0.
- Exemple
- 5 271 est divisible par 21 car
- 527 – 2 × 1 = 525,
- 52 – 2 × 5 = 42 et
- 4 – 2 × 2 = 0.
Critère pour un grand nombre
Même méthode que plus loin pour 27 mais par tranches de 6 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).
Critère de divisibilité par 23
Première méthode
Le nombre an…a1a0 est divisible par 23 si et seulement si an…a1 + 7a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 23, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 92 (= 4 × 23). Le nombre de départ est divisible par 23 si et seulement si le résultat final est 23, 46 ou 69.
- Exemple
- 3 151 est divisible par 23 car 315 + 7 × 1 = 322 et 32 + 7 × 2 = 46.
Deuxième méthode
Le nombre an…a1a0 est divisible par 23 si et seulement si an…a2 + 3a1a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 322 (= 23 × 14). Le nombre est divisible par 23 si et seulement si le résultat final l'est.
- Exemple
- Reprenons l'exemple précédent : 3 151 est divisible par 23 car 31 + 3 × 51 = 184 et 184 = 8 × 23.
Critère de divisibilité par 27
Pour savoir si un nombre est divisible par 27, on le sépare par tranches de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Le résultat est divisible par 27 si et seulement si le nombre considéré au départ l'était.
- Exemple
- Soit le nombre 68 748 098 828 632 988 661.
- On effectue l'opération :
- 68 + 748 + 098 + 828 + 632 + 988 + 661 = 4 023.
- Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer :
- 4 + 023 = 27 qui est divisible par 27, donc 68 748 098 828 632 988 661 l'est aussi.
Critère de divisibilité par 29
Le nombre an…a1a0 est divisible par 29 si et seulement si an…a1 + 3a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 29 il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 58 (= 2 × 29). Le nombre de départ est divisible par 29 si et seulement si le résultat final est 29.
- Exemple
- 75 168 est divisible par 29 car
- 7 516 + 3 × 8 = 7 540,
- 754 + 3 × 0 = 754,
- 75 + 3 × 4 = 87 et
- 8 + 3 × 7 = 29.
Critère de divisibilité par 31
Le nombre an…a1a0 est divisible par 31 si et seulement si an…a1 – 3a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 31, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 31. Le nombre de départ est divisible par 31 si et seulement si le résultat final est 0.
- Exemple
- 15 996 est divisible par 31 car
- 1 599 – 3 × 6 = 1 581,
- 158 – 3 × 1 = 155 et
- 15 – 3 × 5 = 0.
Critère de divisibilité par 37
Même méthode que pour 27 (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).
Si le nombre est un nombre à trois chiffres abc, on retranche le plus petit des chiffres pour faire apparaître un ou plusieurs zéros. Si ce nombre contient deux zéros, le nombre de départ n'est pas divisible par 37; si ce nombre vaut 0, le nombre de départ est divisible par 37. Sinon, ce nombre contient un seul zéro, que l'on enlève pour obtenir un nombre à 2 chiffres. Si le 0 était en position centrale, il faut cependant retourner ce nombre. Le nombre de départ était divisible par 37 si et seulement si le nombre à deux chiffres l'est (et vaut donc 37 ou 74).
- Exemple
- 925 est divisible par 37 car
- le plus petit chiffre est 2, on le retranche à chaque chiffre :
- 925 - 222 = 703, le 0 est central, on retourne le nombre
- on obtient 307 et on supprime le 0
- le résultat 37 est divisible par 37.
On peut aussi utiliser le critère général de divisibilité : le nombre an…a1a0 est divisible par 37 si et seulement si an…a1 -11a0 l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 37, il suffit de répéter cette transformation. Le nombre de départ est divisible par 37 si et seulement si le reste est un multiple de 37
- Exemple
- 19 388 est divisible par 37 car
- 1938-8×11=1850
- 185-0×11=185 = 37×5
Critère de divisibilité par 39
Critère immédiat
Un nombre est divisible par 39 si et seulement s'il est divisible par 13 et par 3.
Lemme de divisibilité par 39
Le nombre an…a1a0 est divisible par 39 si et seulement si an…a1 + 4a0 l'est. Cette transformation est la même que celle pour la divisibilité par 13. Pour voir si un nombre est divisible par 39, il suffit de la répéter jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 78 (= 2 × 39). Le nombre de départ est divisible par 39 si et seulement si le résultat final est 39.
- Exemple
- 4 992 est divisible par 39 car
- 499 + 4 × 2 = 507,
- 50 + 4 × 7 = 78 et
- 7 + 4 × 8 = 39
Critère pour un grand nombre
Même méthode que pour 27 mais par tranches de 6 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).
Critère de divisibilité par 41
Lemme de divisibilité par 41
Le nombre an…a1a0 est divisible par 41 si et seulement si an…a1 – 4a0 (ou sa valeur absolue) l'est. Pour voir si un nombre est divisible par 41, il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 41. Le nombre de départ est divisible par 41 si et seulement si le résultat final est 0.
- Exemple
- 8 036 est divisible par 41 car
- 803 – 4 × 6 = 779,
- 77 – 4 × 9 = 41 et
- 4 – 4 × 1 = 0.
Critère pour un grand nombre
Même méthode que pour 27 mais par tranches de 5 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).
Critère de divisibilité par 43
Le nombre an…a1a0 est divisible par 43 si et seulement si an…a2 – 3a1a0 (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 215 (= 43 × 5). Le nombre est divisible par 43 si et seulement si le résultat final l'est.
- Exemple
- 173 161 est divisible par 43 car 1731 – 3 × 61 = 1 548 et |15 – 48 × 3| = 129 = 43 × 3.
Critère de divisibilité par 47
Le nombre an…a1a0 est divisible par 47 si et seulement si an…a2 + 8a1a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 846 (= 47 × 18). Le nombre est divisible par 47 si et seulement si le résultat final l'est.
- Exemple
- 143 597 n'est pas divisible par 47 car 1 435 + 8 × 97 = 2 211 et 22 + 8 × 11 = 110 = 2 × 47 + 16.
Critère de divisibilité par 49
Le nombre an…a1a0 est divisible par 49 si et seulement si la somme an…a1 + 5a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 98 (= 2 × 49). Le nombre est divisible par 49 si et seulement si le résultat final est 49.
Exemple
478515625 est divisible par 49 car
47851562 + 5 × 5 = 47851587,
4785158 + 5 × 7 = 4785193,
478519 + 5 × 3 = 478534,
47853 + 5 × 4 = 47873,
4787 + 5 × 3 = 4802,
480 + 5 × 2 = 490 et
49 + 5 × 0 = 49.
Critère de divisibilité par 53
Le nombre an…a1a0 est divisible par 53 si et seulement si an…a2 – 9a1a0 (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 800. On passe ensuite au second critère de divisibilité : le nombre an…a1a0 est divisible par 53 si et seulement si an…a1 +16a0 l'est. Il suffit de répéter cette transformation jusqu'à obtenir un résultat strictement inférieur à 212 (= 4 × 53). Le nombre de départ est divisible par 53 si et seulement si le résultat final est 53, 106 ou 159.
- Exemple
- 132 023 est divisible par 53 car 1 320 – 9 × 23 = 1 113 et |11 – 9 × 13| = 106 = 2 × 53.
Critère de divisibilité par 59
Le nombre an…a1a0 est divisible par 59 si et seulement si an…a1 + 6a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 118 (= 2 × 59). Le nombre est divisible par 59 si et seulement si le résultat final est 59.
- Exemple
- 1 185 n'est pas divisible par 59 car 118 + 6 × 5 = 148 et 14 + 6 × 8 = 62.
Critère de divisibilité par 61
Le nombre an…a1a0 est divisible par 61 si est seulement si an…a1 – 6a0 (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 61. Le nombre est divisible par 61 si et seulement si résultat final est 0.
- Exemple
- 5 623 n'est pas divisible par 61 car 562 – 6 × 3 = 544 et 54 – 6 × 4 = 30.
Critère de divisibilité par 67
Un nombre an…a1a0 est divisible par 67 si et seulement si an…a2 – 2a1a0 (ou sa valeur absolue) l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 134 (= 2 × 67). Le nombre est divisible par 67 si et seulement si le résultat final est 0 ou 67.
- Exemple
- 135 541 est divisible par 67 car
- 1 355 – 41 × 2 = 1 273,
- |12 – 73 × 2| = 134 et
- |1 – 34 × 2| = 67.
Critère de divisibilité par 71
Le nombre an…a1a0 est divisible par 71 si et seulement si an…a1 – 7a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 71. Le nombre est divisible par 71 si et seulement si le résultat final est 0.
Exemple : 27 253 n'est pas divisible par 71 car
- 2 725 – 7 × 3 = 2 704,
- 270 – 7 × 4 = 242 et
- 24 – 7 × 2 = 10.
Critère de divisibilité par 73
Même méthode que pour 13 mais par tranches de 4 chiffres (voir le § « Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1 » ci-dessous).
Critère de divisibilité par 79
Le nombre an…a1a0 est divisible par 79 si et seulement si an…a1 + 8a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 158 (= 2 × 79). Le nombre est divisible par 79 si et seulement si le résultat final est 79.
- Exemple
- 21 804 est divisible par 79 car
- 2 180 + 8 × 4 = 2 212,
- 221 + 8 × 2 = 237 et
- 23 + 8 × 7 = 79.
Critère de divisibilité par 83
Le nombre an…a1a0 est divisible par 83 si et seulement si an…a1 + 25a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 332 (= 83 × 4). Le nombre est divisible par 83 si et seulement si le résultat final est 83, 166 ou 249.
Exemple
11537 est divisible par 83 car 1153 + 7 × 25 = 1328 et 132 + 8 × 25 = 332 et 33 + 2 × 25 = 83.
Critère de divisibilité par 89
Le nombre an…a1a0 est divisible par 89 si et seulement si an…a1 + 9a0 l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 178 (= 89 × 2). Le nombre est divisible par 89 si et seulement si le résultat final est 89.
Exemple : 7921 est divisible par 89 car 792 + 9 × 1 = 801 et 80 + 9 × 1 = 89.
Critère de divisibilité par 97
Le nombre an…a1a0 est divisible par 97 si et seulement si |an…a1 – 29a0| l'est. On recommence jusqu'à ce que le nombre obtenu soit strictement inférieur à 291 (= 3 × 97). Le nombre est divisible par 97 si et seulement si le résultat final est 0, 97 ou 194.
Exemple
46 657 est divisible par 97 car
- 4 665 – 29 × 7 = 4 462,
- 446 – 29 × 2 = 388 et
- |38 – 29 × 8| = 194.
Méthode du ruban de Pascal
Cette méthode (voir l'article détaillé) permet de tester la divisibilité d'un nombre N, généralement écrit en base dix, par n'importe quel entier d. Le principe est de remplacer, dans le nombre N = an10n + … + a110 + a0, chaque puissance de 10 par son reste r dans la division euclidienne par d (on peut aussi prendre r – d au lieu de r).
- Exemples
-
- Pour d = 7, on peut remplacer 1, 10, 100, etc. par 1, 3, 2, −1, −3, −2, 1, 3, 2, −1, −3, −2, etc. (suite périodique) : on dit qu'une clé de divisibilité par 7 en base dix est (1, 3, 2, −1, −3, −2). Le nombre N = an…a1a0 est divisible par 7 si et seulement si le nombre suivant l'est :
a0 + 3a1 + 2a2 − a3 − 3a4 − 2a5 + a6 + 3a7 + 2a8 − a9… = A + 3B + 2C, avec
A = a0 – a3 + a6 – a9…, B = a1 – a4 + a7 – a10… et C = a2 – a5 + a8 – a11… - Pour d = 13, une clé de divisibilité en base dix est (1, –3, – 4, −1, 3, 4) donc an…a1a0 est divisible par 13 si et seulement si le nombre suivant l'est :
a0 – 3a1 – 4a2 − a3 + 3a4 + 4a5 + a6 – 3a7 – 4a8 − a9… = A – 3B – 4C, avec
A = a0 – a3 + a6 – a9…, B = a1 – a4 + a7 – a10… et C = a2 – a5 + a8 – a11…
- Pour d = 7, on peut remplacer 1, 10, 100, etc. par 1, 3, 2, −1, −3, −2, 1, 3, 2, −1, −3, −2, etc. (suite périodique) : on dit qu'une clé de divisibilité par 7 en base dix est (1, 3, 2, −1, −3, −2). Le nombre N = an…a1a0 est divisible par 7 si et seulement si le nombre suivant l'est :
Critère de divisibilité par un facteur de 10n ± 1
Dans la méthode du ruban, pour certains d, la clé de divisibilité est plus simple lorsqu'on considère N comme écrit en base 10n pour un n bien choisi. En particulier, la clé de divisibilité en base 10n sera (1, −1) si d est un diviseur de 10n + 1, et elle sera simplement (1) si d est un diviseur de 10n – 1. On en a vu des exemples pour la divisibilité par 11 (facteur de 101 + 1 et de 102 – 1) et (pour un « grand » nombre) par 7 ou 13 (facteurs de 103 + 1) ou par 27 (facteur de 103 – 1). En résumé :
- Si d est un diviseur de 10n + 1, pour savoir si un grand nombre est divisible par d, il suffit de séparer ce nombre par tranches de n chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des – et des + entre les tranches. On effectue l'opération ainsi écrite et le résultat est divisible par d si et seulement si le nombre considéré au départ l'était. On répète cette transformation autant que faire se peut.
- Exemples
Divisibilité par | 11 | 101 | 7 | 13 | 77 | 91 | 143 | 73 | 137 | 17 | 19 | 133 | 23 | 121 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tranches de taille | 1 | 2 | 3 | 4 | 8 | 9 | 11 |
- Si d est un diviseur de 10n – 1 (ce qui est vrai pour n'importe quel n si d = 3 ou 9), même principe mais en n'insérant que des + entre les tranches.
- Exemples
Divisibilité par | 11 | 33 | 99 | 27 | 37 | 111 | 41 | 123 | 21 | 39 | 63 | 117 | 81 | 53 | 79 | 31 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tranches de taille | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 | 13 | 15 |
Notes et références
- ↑ (en) Gustavo Gerald Toja Frachia, « Brief method for determining if a number is divisible by 7 » (version du sur Internet Archive).
- ↑ Le principe sur un exemple est détaillé dans (en) Boris A. Kordemsky (en), The Moscow Puzzles: 359 Mathematical Recreations, Dover Publications, 2014 (1re éd. 1971), p. 140, aperçu sur Google Livres.
- ↑ (en) David Wilson, « Divisibility by 7 is a Walk on a Graph », sur Tanya Khovanova's Math Blog, (consulté le ).
- ↑ (en) David Wilson, « Divisibility by 7 is a Walk on a Graph. II », sur Tanya Khovanova's Math Blog, (consulté le ).
Arithmétique et théorie des nombres