Cet article est une ébauche concernant l’analyse.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ? ) selon les recommandations des projets correspondants.
En analyse numérique , la méthode du point médian est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale
∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.} Le principe est d'approcher l'intégrale de la fonction f {\displaystyle f} par l'aire d'un rectangle de base de segment [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} et de hauteur f ( a + b 2 ) {\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)} , ce qui donne :
R = ( b − a ) f ( a + b 2 ) . {\displaystyle R=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).} Cette aire est aussi celle du trapèze de base [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} et dont le côté opposé est tangent au graphe de f {\displaystyle f} en c = a + b 2 {\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}} , ce qui explique sa relative bonne précision.
Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , l'erreur commise est de la forme
∫ a b f ( x ) d x − ( b − a ) f ( a + b 2 ) = ( b − a ) 3 24 f ″ ( ξ ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )} pour un certain ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} .
Démonstration Soit F {\displaystyle F} une primitive de f {\displaystyle f} sur l'intervalle [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , on peut appliquer le théorème de Taylor-Lagrange à la fonction F {\displaystyle F} à l'ordre 2 entre les points t ∈ [ a , b ] {\displaystyle t\in [a,b]} et c = a + b 2 {\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}} . Pour tout t ∈ [ a , b ] {\displaystyle t\in [a,b]} il existe ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} tel que
F ( t ) = F ( c ) + F ′ ( c ) ( t − c ) + 1 2 F ″ ( c ) ( t − c ) 2 + 1 6 F ‴ ( ξ ) ( t − c ) 3 {\displaystyle F(t)=F(c)+F'(c)(t-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(t-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi )(t-c)^{3}} en particulier en prenant t = a {\displaystyle t=a} puis t = b {\displaystyle t=b} , il existe ξ 1 , ξ 2 ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}\in [a,b]} tel que
F ( b ) = F ( c ) + F ′ ( c ) ( b − c ) + 1 2 F ″ ( c ) ( b − c ) 2 + 1 6 F ‴ ( ξ 1 ) ( b − c ) 3 = F ( c ) + f ( c ) b − a 2 + 1 2 f ′ ( c ) ( b − a 2 ) 2 + 1 6 f ″ ( ξ 1 ) ( b − a 2 ) 3 {\displaystyle F(b)=F(c)+F'(c)(b-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(b-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi _{1})(b-c)^{3}=F(c)+f(c){\frac {b-a}{2}}+{\frac {1}{2}}f'(c)\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{6}}f''(\xi _{1})\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}} et
F ( a ) = F ( c ) + F ′ ( c ) ( a − c ) + 1 2 F ″ ( c ) ( a − c ) 2 + 1 6 F ‴ ( ξ 2 ) ( a − c ) 3 = F ( c ) + f ( c ) a − b 2 + 1 2 f ′ ( c ) ( b − a 2 ) 2 + 1 6 f ″ ( ξ 2 ) ( b − a 2 ) 3 {\displaystyle F(a)=F(c)+F'(c)(a-c)+{\frac {1}{2}}F''(c)(a-c)^{2}+{\frac {1}{6}}F'''(\xi _{2})(a-c)^{3}=F(c)+f(c){\frac {a-b}{2}}+{\frac {1}{2}}f'(c)\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{6}}f''(\xi _{2})\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}} En soustrayant les deux égalités on obtient :
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = f ( c ) ( b − a ) + ( b − a ) 3 24 ( f ″ ( ξ 1 ) + f ″ ( ξ 2 ) 2 ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)=f(c)(b-a)+{\frac {(b-a)^{3}}{24}}\left({\frac {f''(\xi _{1})+f''(\xi _{2})}{2}}\right)} Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors l’existence d'un réel ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} telle que f ″ ( ξ 1 ) + f ″ ( ξ 2 ) 2 = f ″ ( ξ ) {\displaystyle {\frac {f''(\xi _{1})+f''(\xi _{2})}{2}}=f''(\xi )} .
Sur une subdivision de l'intervalle En découpant l'intervalle [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} en n {\displaystyle n} segments [ a k , a k + 1 ] {\displaystyle [a_{k},a_{k+1}]} de même longueur h = b − a n {\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}} et en appliquant la formule précédente sur chacun des petits segments [ a k , a k + 1 ] {\displaystyle [a_{k},a_{k+1}]} où a k = a + k h {\displaystyle a_{k}=a+kh} pour k ∈ { 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 } {\displaystyle k\in \{0,1,2,...,n-1\}} on obtient
| ∫ a k a k + 1 f ( x ) d x − h f ( a k + h 2 ) | ≤ ( a k + 1 − a k ) 3 24 M 2 {\displaystyle \left|\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf\left(a_{k}+{\frac {h}{2}}\right)\right|\leq {\frac {(a_{k+1}-a_{k})^{3}}{24}}M_{2}} avec M 2 = sup [ a , b ] | f ″ | {\displaystyle M_{2}={\text{sup}}_{[a,b]}|f''|} En sommant sur k {\displaystyle k} on obtient
| ∫ a b f ( x ) d x − h ∑ k = 0 n − 1 f ( a k + h 2 ) | = | ∑ k = 0 n − 1 ( ∫ a k a k + 1 f ( x ) d x − h f ( a k + h 2 ) ) | ≤ ∑ k = 0 n − 1 | ∫ a k a k + 1 f ( x ) d x − h f ( a k + h 2 ) | ≤ ∑ k = 0 n − 1 ( a k + 1 − a k ) 3 24 M 2 ≤ h 3 24 M 2 ∑ k = 0 n − 1 1 = M 2 24 ( b − a n ) 3 n = M 2 ( b − a ) 3 24 n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-h\sum _{k=0}^{n-1}f\left(a_{k}+{\frac {h}{2}}\right)\right|&=\left|\sum _{k=0}^{n-1}\left(\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf(a_{k}+{\frac {h}{2}})\right)\right|\\&\leq \sum _{k=0}^{n-1}\left|\int _{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\,\mathrm {d} x-hf(a_{k}+{\frac {h}{2}})\right|\\&\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(a_{k+1}-a_{k})^{3}}{24}}M_{2}\\&\leq {\frac {h^{3}}{24}}M_{2}\sum _{k=0}^{n-1}1={\frac {M_{2}}{24}}\left({\frac {b-a}{n}}\right)^{3}n={\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}}\end{aligned}}}
Remarques L'erreur est deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes .
Cette méthode est un cas des formules de Newton-Cotes, où le polynôme d'interpolation est de degré 0 {\displaystyle 0} . Elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 1 {\displaystyle 1} .
Portail de l'analyse