Nombre de Münchhausen
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On appelle en anglais « perfect digit-to-digit invariant » (PDDI)[1], relativement à une base de numération donnée b, un entier naturel qui est égal à la somme de ses chiffres dans cette base b, chacun élevé à la puissance de ce même chiffre (en convenant ici que 00 = 0).
Un calcul élémentaire[2] prouve que n est majoré par 2bb ; dans une base donnée, il n'existe donc qu'un nombre fini de perfect digit-to-digit invariants, dont on peut programmer le calcul.
Zéro et un sont des perfect digit-to-digit invariants dans toutes les bases.
En base dix, les deux seuls autres perfect digit-to-digit invariants[3] sont 3 435 et 438 579 088 :
Dans une prépublication de style récréatif[4], Daan van Berkel[2] a appelé « nombres de Münchhausen » (Munchausen numbers[5]) des nombres définis comme les perfect digit-to-digit invariants[6], mais avec la convention 00 = 1. Avec cette convention, les deux seuls nombres de Münchhausen en base 10 sont 1 et 3435.
La dénomination « nombres de Münchhausen » a été choisie en référence au baron du même nom, leur propriété étant une variante de celle des nombres narcissiques, à l'instar du caractère du baron[2].
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Perfect digit-to-digit invariant » (voir la liste des auteurs).
- ↑ Pour la terminologie, voir une page du mathématicien amateur Harvey Heinz, qui renvoie à David Wells, Curious and Interesting Numbers, p.190, et à D. Morrow, dans Journal of Recreational Mathematics 27:1, 1995, p. 9 et 27:3, 1995, pp. 205-207. Ces nombres sont décrits, mais non nommés, sur The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, avec références à J. S. Madachy, Madachy's Mathematical Recreations, Dover N.Y., pp. 163-175 ; C. A. Pickover, Keys to Infinity, Wiley 1995, ch. 22, pp. 169-171; David Wells, Curious and Interesting Numbers, Penguin, 1988, pp. 169, 190
- ↑ a b et c Daan van Berkel, « On a curious property of 3435 », 2009, « 0911.3038 », texte en accès libre, sur arXiv.
- ↑ suite A046253 de l'OEIS
- ↑ D. van Berkel s'intéresse au nombre 3435 en invoquant le paradoxe des nombres intéressants.
- ↑ La déformation orthographique de « Münchhausen » en « Munchausen » avec un seul « h » et sans Umlaut est calquée sur celle du film de Terry Gilliam, The Adventures of Baron Munchausen (1988).
- ↑ suite A166623 de l'OEIS
Arithmétique et théorie des nombres