Numération d'Ostrowski
En mathématiques, la numération d'Ostrowski, qui porte le nom d'Alexander Ostrowski, est un système de numération basé sur le développement en fraction continue ; c'est un système de numération positionnel non standard pour les entiers et pour les nombres réels.
Notations
Soit un nombre irrationnel positif avec développement en fraction continue
Soit la suite des dénominateurs des convergents vers , donnée par
- .
On pose , où est l'opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing donné par , et ; on a alors
- .
Représentation des nombres réels
Tout nombre réel positif peut être écrit sous la forme
où les coefficients vérifient l'inégalité et, s'il y a égalité , alors .
Représentation des entiers naturels
Tout entier positif peut être écrit de façon unique sous la forme
où les coefficients vérifient l'inégalité et si alors .
Si est le nombre d'or, alors les quotients partiels sont tous égaux à 1, les dénominateurs denominators qn sont les nombres de Fibonacci et on retrouve le théorème de Zeckendorf sur le codage de Fibonacci des entiers positifs comme somme de nombre de Fibonacci distincts non consécutifs.
Article lié
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Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ostrowski numeration » (voir la liste des auteurs).
- Jean-Paul Allouche et Jeffrey Shallit, Automatic Sequences : Theory, Applications, Generalizations, Cambridge University Press, , 571 p. (ISBN 978-0-521-82332-6, zbMATH 1086.11015, lire en ligne).
- Chiara Epifanio, Christiane Frougny, Alessandra Gabriele, Filippo Mignosi et Jeffrey Shallit, « Sturmian graphs and integer representations over numeration systems », Discrete Applied Mathematics, vol. 160, nos 4-5, , p. 536–547 (DOI 10.1016/j.dam.2011.10.029, zbMATH 1237.68134)
- Alexander Ostrowski, « Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen », Hamb. Abh., vol. 1, , p. 77–98 (JFM 48.0197.04)
- (en) N. Pytheas Fogg (nom de plume), Valérie Berthé, Sébastien Ferenczi, Christian Mauduit et Anne Siegel (éditeurs), Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, Berlin/Heidelberg/New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 1794), , 402 p. (ISBN 3-540-44141-7, zbMATH 1014.11015)
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