Partie étoilée
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– étoilée par rapport au point vert ;
– mais non étoilée par rapport au point bleu.
En géométrie, une partie A d'un espace affine réel E est dite étoilée par rapport à un point a de A si, pour tout point x de A, le segment [a, x] est contenu dans A, c'est-à-dire que dans A, tout point peut être relié à a par un chemin rectiligne.
Définitions
Plus formellement, puisque le segment [a, x] est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs des points a et x : une partie non vide A de E est étoilée par rapport à un point a de E si
(Cette condition assure que a est forcément dans A.)
Une partie de E est dite étoilée (sans plus de précisions) si elle est étoilée par rapport à un point au moins.
Propriétés affines
- Une partie non vide est étoilée par rapport à a si et seulement si elle est stable sous l'action des homothéties de centre a et de rapport t pour .
- Une partie de E est convexe si et seulement si elle est étoilée par rapport à chacun de ses points.
- Dans le plan, le complémentaire d'une demi-droite est étoilé mais n'est pas convexe ; le complémentaire d'un point n'est pas étoilé.
- Une partie d'un espace vectoriel réel est étoilée par rapport à si et seulement s'il existe une fonction positivement homogène (au sens : , avec la convention ) telle que . Une telle fonction est alors nécessairement égale à la fonctionnelle de Minkowski de : [1].
Propriétés topologiques
On suppose ici que l'espace affine réel E est topologique, c'est-à-dire associé à un espace vectoriel topologique.
- Toute partie étoilée a le type d'homotopie d'un point.
- Toute partie étoilée est connexe par arcs, et donc tout ouvert étoilé est un domaine (c'est-à-dire un ouvert connexe par arcs).
- La propriété d'être étoilé n'est pas invariante par homéomorphisme, mais les ouverts étoilés sont parmi les exemples les plus simples et les plus importants d'espaces contractiles.
- D'après le lemme de Poincaré, toute forme différentielle fermée sur un ouvert étoilé est exacte.
Référence
- ↑ (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 315-316 et 313.
Bibliographie
(en) A. M. Rubinov et A. A. Yagubov, « The Space of Star-Shaped Sets and Its Applications in Nonsmooth Optimization », sur IIASA,
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