Processus de Poisson composé
Un processus de Poisson composé, nommé d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, est un processus stochastique en temps continu à droite limité à gauche (Càdlàg). C'est en particulier un processus de Lévy.
Définition
Un processus de Poisson composé est un processus aléatoire indexé par le temps qui s’écrit où est un processus de Poisson et est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées et indépendantes de .
Propriétés
Accroissements
Comme tout processus de Lévy, le processus de Poisson composé est à accroissements indépendants et à accroissements stationnaires. De plus, les lois de ses accroissements sont infiniment divisibles.
Moments
Espérance
Moment d'ordre 1 — Si admet un moment d'ordre 1, alors pour tout la variable aléatoire possède un moment d'ordre 1 et
Fixons et montrons que est intégrable.
Mais et sont indépendants, d'où
Or suit une loi de Poisson de paramètre , d'où .
De la même façon et en utilisant le Théorème de convergence dominée, on peut montrer cette fois que .
Variance
Variance — Si admet un moment d'ordre 2, alors pour tout , admet un moment d'ordre 2 et on a
Fixons . On conditionne par le système complet d'événements pour montre que possède un moment d'ordre 2.
Par indépendance de processus avec la suite ,
Ainsi
On a alors
est donc de carré intégrable. Il faut donc maintenant exprimer .
D'où
Loi des grands nombres
On peut écrire une loi des grands nombres pour le processus de Poisson composé.
Théorème — Si les ont un moment d'ordre 2, alors
D'après la loi des grands nombres sur , on a . D'où presque sûrement.
sont i.i.d. et de carré intégrable. d'après la loi gforte des grands nombres pour les on a
Comme tend presque sûrement vers , on a le résultat.
Fonction caractéristique
La fonction caractéristique de détermine entièrement sa loi de probabilité.
Théorème — La fonction caractéristique d'un processus de Poisson composé d'intensité s'écrit
Par définition de la fonction caractéristique et par la formule de la formule de l'espérance totale, on a
Et par indépendance entre le processus et la suite de variables aléatoires , on a que D'où
Et par indépendance entre les , on a . On a donc
Théorème central limite
On peut établir un théorème de convergence pour le processus .
Théorème — Soit un processus de Poisson composé d'intensité . On suppose les centrées, réduites et indépendantes et identiquement distribuées. On a alors la convergence en loi suivante
On utilise la fonction caractéristique de et on fait un développement limité de , au voisinage de 0 (ce qui revient à faire tendre t vers l'infini). On reconnaitra la fonction caractéristique d'une variable aléatoire suivant une loi Normale. on conclut alors par théorème de continuité de Paul-Levy
Annexes
Bibliographie
- D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, PPUR presses polytechniques, 2009
- J. Bertoin, Lévy Processes, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. (ISBN 0-52164-632-4)
- Y. Caumel, Probabilités et Processus Stochastiques, Springer Verlag France, 2011, (ISBN 2817801628)
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Compound Poisson process » (voir la liste des auteurs).
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