En analyse, la règle de dérivation des fonctions réciproques est une formule qui explicite la dérivée de la réciproque d'une fonction bijective et dérivable en fonction de la dérivée de . Autrement dit, si est la réciproque de , et que si et seulement si , alors dans la notation de Lagrange,
- .
Cette formule vaut dès lors que est continue et injective sur un intervalle , étant dérivable en () avec .
Démonstration
Démonstration analytique
Soient et deux fonctions dérivables réciproques, avec . Alors en appliquant la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement, on déduit :
Or, est continue, donc tend vers lorsque tend vers :
Démonstration par le théorème de dérivation des fonctions composées
Soient et deux fonctions dérivables réciproques, on a alors :
- .
Or, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées :
- .
Donc, en isolant , on déduit :
- .
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