Série de Bell

En théorie des nombres, les séries de Bell sont des séries formelles utilisées pour étudier les propriétés des fonctions arithmétiques. Elles ont été introduites et développées par Eric Temple Bell.

Si f est une fonction arithmétique et p un nombre premier, on définit la série de Bell d'indice p de f :

${\displaystyle f_{p}(X)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})X^{n}.}$

• Deux fonctions multiplicatives f et g sont égales si (et seulement si), pour tout entier premier p, on a : ${\displaystyle f_{p}(X)=g_{p}(X)}$.
• Pour deux fonctions arithmétiques f et g,${\displaystyle f_{p}(X)g_{p}(X)=h_{p}(X),}$où h est le produit de convolution de Dirichlet de f et de g.
• Si f est complètement multiplicative, alors :${\displaystyle f_{p}(X)={\frac {1}{1-f(p)X}}.}$

Voici quelques fonctions arithmétiques usuelles et leurs séries de Bell :

• le neutre δ₁ pour la convolution de Dirichlet, i.e. la fonction caractéristique du singleton {1} : (δ₁)_p(X) = 1,
• la fonction puissance k-ième I_k (qui est complètement multiplicative) : ${\displaystyle (I_{k})_{p}(X)={\frac {1}{1-p^{k}X}},}$
• la fonction de Möbius μ : μ_p(X) = 1 – X,
• la fonction de Liouville λ : λ_p(X) = 1/(1 + X),
• la fonction φ d'Euler : ${\displaystyle \varphi _{p}(X)={\frac {1-X}{1-pX}},}$
• la Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs σ_k : ${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(X)={\frac {1}{1-\sigma _{k}(p)X+p^{k}X^{2}}}.}$

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