Sous-espace caractéristique

Soient ${\displaystyle E}$ un ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espace vectoriel de dimension finie, ${\displaystyle u}$ un endomorphisme de ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle \lambda }$ une valeur propre de ${\displaystyle u}$.

On appelle sous-espace caractéristique, sous-espace spectral, ou encore espace propre généralisé de ${\displaystyle u}$ associé à la valeur propre ${\displaystyle \lambda }$ le sous-espace vectoriel

${\displaystyle N_{\lambda }(u)=\ker \left[(u-\lambda {\rm {Id}})^{m}\right]}$

Id étant l'application identité et ${\displaystyle m}$ la multiplicité de ${\displaystyle \lambda }$ dans le polynôme minimal de ${\displaystyle u}$. Cet exposant ${\displaystyle m}$ est celui pour lequel le noyau dans la formule atteint sa dimension maximale : si on le remplace par une valeur plus grande, le noyau ne change plus. Pour cette raison on pourra aussi prendre la multiplicité de ${\displaystyle \lambda }$ dans le polynôme caractéristique, car celle-ci est toujours supérieur ou égale à ${\displaystyle m}$, d'après le théorème de Cayley-Hamilton.

Un vecteur ${\displaystyle x\in E}$ est un vecteur propre généralisé de ${\displaystyle u}$ associé à ${\displaystyle \lambda }$ si ${\displaystyle x}$ est non nul et s'il existe un entier ${\displaystyle k\geq 1}$ tel que ${\displaystyle x\in \ker \left[(u-\lambda {Id})^{k}\right]}$, autrement dit si ${\displaystyle x\in N_{\lambda }(u)\backslash \{0\}}$.

Les sous-espaces caractéristiques sont utilisés dans la caractérisation de la trigonalisation d'un endomorphisme.

En effet, un endomorphisme ${\displaystyle u}$ d'un espace vectoriel ${\displaystyle E}$ est trigonalisable si et seulement si ${\displaystyle E}$ est la somme (directe) des sous-espaces caractéristiques de ${\displaystyle u}$, c'est-à-dire si et seulement s'il existe une base de ${\displaystyle E}$ formée de vecteurs propres généralisés de ${\displaystyle u}$. Cette caractérisation rejoint celle donnée à l'aide du polynôme caractéristique, qui doit être scindé pour que l'endomorphisme soit trigonalisable.

• Sous-espace supplémentaire
• Sous-espace stable
• Sous-espace propre

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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