Sous-groupe sous-normal
En mathématiques, dans le domaine de la théorie des groupes, un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe sous-normal de G s'il existe une chaîne finie de sous-groupes du groupe, commençant en H et finissant en G, et dont chaque élément est un sous-groupe normal du suivant.
Définition formelle
Formellement, est -sous-normal dans s'il existe des sous-groupes
de tels que est normal dans pour chaque .
Un sous-groupe sous-normal est un sous-groupe qui est -sous-normal pour un entier positif .
Historique
Le concept de sous-groupe sous-normal a été introduit sous le nom 'nachinvariante Untergruppe par Helmut Wielandt dans sa thèse d'habilitation en 1939[1]. Wielandt a notamment prouvé que dans un groupe de longueur finie (en particulier fini), le sous-groupe engendré par deux sous-groupes sous-normaux est lui-même sous-normal, donc dans ce cas, que les sous-groupes sous-normaux forment un treillis.
Exemple
Le sous-groupe du groupe symétrique est un sous-groupe normal du groupe de Klein qui lui-même est un sous-groupe normal de . Ainsi, est un sous-groupe sous-normal de, sans être un sous-groupe normal puisque n'est pas dans .
Propriétés
Quelques exemples et résultats sur les sous-groupes sous-normaux :
- Un sous-groupe 1-sous-normal est un sous-groupe normal propre, et réciproquement.
- Un groupe de type fini est un nilpotent si et seulement si tous ses sous-groupes sont sous-normaux.
- Un sous-groupe quasi-normal (en) et plus généralement un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués d'un groupe fini est sous-normal.
- Un sous-groupe pronormal (en) qui est aussi sous-normal est un sous-groupe normal. En particulier, un sous-groupe de Sylow est sous-normal si et seulement s'il est normal.
- Un sous-groupe 2-sous-normal est un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués.
La relation de sous-normalité est transitive : en d'autres termes, un sous-groupe sous-normal d'un sous-groupe sous-normal est sous-normal. La relation de sous-normalité peut donc être définie comme la fermeture transitive de la relation de normalité.
Articles liés
Notes et références
- ↑ « Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen », Mathematische Zeitschrift, vol. 45, 1939), p. 209-244 (lire en ligne).
- (de)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en allemand « Subnormalteiler » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Subnormal subgroup » (voir la liste des auteurs).
Bibliographie
- Derek J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Berlin, New York, Springer-Verlag, , 499 p. (ISBN 978-0-387-94461-6, lire en ligne)
- Adolfo Ballester-Bolinches, Ramon Esteban-Romero et Mohamed Asaad, Products of Finite Groups, Walter de Gruyter, , 346 p. (ISBN 978-3-11-022061-2, lire en ligne)
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