Symétrisation de Steiner
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En géométrie affine, la symétrisation de Steiner est une géométrie visant à remplacer une partie quelconque d'un espace affine par une partie admettant des propriétés de symétrie. Cette transformation a été utilisée pour démontrer certaines inégalités isopérimétriques.
Elle est nommée ainsi en l'honneur de Jakob Steiner.
Définition
Dans un espace affine, soit H un hyperplan et δ une direction non parallèle à H. Soit K une partie de l'espace affine. On définit alors le symétrisé de Steiner par :
pour toute droite D parallèle à δ :
- si K ∩ D = ∅ alors
- si K ∩ D ≠ ∅ alors est le segment porté par D, de milieu situé en H et de longueur, sur D, égale à celle de K ∩ D.
Conséquences
- On peut montrer que la symétrisation de Steiner n'est pas continue pour la distance de Hausdorff.
- Pour toute partie K,
- La symétrisation de Steiner conserve le volume, et elle n'augmente pas le diamètre.
- Elle conserve également la convexité.
- Inégalité isodiamétrique de Bieberbach:
Quel que soit K compact dans un espace euclidien de dimension n, on a
où désigne le volume de la boule unité dans l'espace considéré.
Sources
- Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions], Tome 1
- (de) Jakob Steiner, « Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze », J. reine angew Math., vol. 18, , p. 281-296 (lire en ligne)
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