Symétrisation de Steiner

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Pour les articles homonymes, voir Steiner.

En géométrie affine, la symétrisation de Steiner est une géométrie visant à remplacer une partie quelconque d'un espace affine par une partie admettant des propriétés de symétrie. Cette transformation a été utilisée pour démontrer certaines inégalités isopérimétriques.

Elle est nommée ainsi en l'honneur de Jakob Steiner.

Dans un espace affine, soit H un hyperplan et δ une direction non parallèle à H. Soit K une partie de l'espace affine. On définit alors le symétrisé de Steiner ${\displaystyle st_{H,\delta }(K)}$ par :

pour toute droite D parallèle à δ :

• si K ∩ D = ∅ alors ${\displaystyle st_{H,\delta }(K)\cap D=\varnothing ,}$
• si K ∩ D ≠ ∅ alors ${\displaystyle st_{H,\delta }(K)\cap D}$ est le segment porté par D, de milieu situé en H et de longueur, sur D, égale à celle de K ∩ D.

• On peut montrer que la symétrisation de Steiner n'est pas continue pour la distance de Hausdorff.
• Pour toute partie K, ${\displaystyle st_{H,\delta }(st_{H,\delta }(K))=st_{H,\delta }(K)}$
• La symétrisation de Steiner conserve le volume, et elle n'augmente pas le diamètre.
• Elle conserve également la convexité.

• Inégalité isodiamétrique de Bieberbach:

Quel que soit K compact dans un espace euclidien de dimension n, on a

${\displaystyle V(K)\leq 2^{-n}\beta (n)(diam(K))^{n}~,}$

où ${\displaystyle \beta (n)}$ désigne le volume de la boule unité dans l'espace considéré.

• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions], Tome 1
• (de) Jakob Steiner, « Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze », J. reine angew Math., vol. 18,‎ 1838, p. 281-296 (lire en ligne)

• Portail des mathématiques