Transformée en W

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En théorie du signal, on appelle transformée en W le résultat de la fonction homographique définie par f ( z ) = z + 1 z − 1 {\displaystyle f(z)={\frac {z+1}{z-1}}} , où z est en pratique à son tour le résultat d'une transformée en Z.

Propriétés algébriques

La transformation en W envoie le cercle unité sur le demi-plan x < 0.

Cette transformation est involutive[1], c'est-à-dire que si w = f(z) alors z = f(w). En effet, la relation w = f(z) est symétrique en z et w, car on peut l'écrire zw – (z + w) – 1 = 0.

Ses deux points fixes sont les réels 1+√2 et 1–√2, ce qui permet l'écriture plus synthétique

W = w − 1 + 2 w − 1 − 2 = − z − 1 + 2 z − 1 − 2 = − Z {\displaystyle W={\frac {w-1+{\sqrt {2}}}{w-1-{\sqrt {2}}}}=-{\frac {z-1+{\sqrt {2}}}{z-1-{\sqrt {2}}}}=-Z}  ;

on retrouve bien l'involutivité car (–1)2 = 1.

Note

  1. ↑ En fait, selon les auteurs, d'autres homographies (non involutives) sont parfois choisies, comme –f ou 1/f.

Référence

Jean-Charles Gilles, Systèmes et signaux déterministes (on trouvera à partir de la page 33 une utilisation de la transformation en W permettant un emploi plus aisé du critère de Routh).

Voir aussi

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