Ívhossz
Az ívhossz egy differenciálható görbe szakaszának a hossza. Az ívhossz kiszámítása sok szempontból hasznos lehet, hiszen egy görbe sok mindent reprezentálhat (bejárt út, munka stb.). Jelölése: .
Kiszámítása
Az ívhossz a görbe parametrikus egyenletéből relatíve egyszerűen megadható, mégpedig a meredekség vektorok hosszainak összegéből, azaz:
- ,
ahol független paraméter. Descartes-koordináta-rendszerben a képlet így néz ki:
Ez a képlet a következő Riemann-összegből számítható (ezzel az összeggel reprezentálva az ívhosszt):
A fenti szummában a kifejezés a közelítő hossza egy húrnak a távolságon. Ahogy tart nullához, úgy közelíti az összeg az ívhosszt.
Az ívhossz polárkoordinátákban is meghatározható a fenti általános, vektoros képletből:
Ívhossz szerinti paraméterezés
Egy görbe paraméterezései között kitüntetett szerep jut az úthossz szerinti paraméterezésnek. Sok képlet egyszerűbbé válik, ha ezt a paraméterezést használjuk.
Legyen a görbe ezzel a paraméterezéssel megadva:
és minden -re. Ekkor a paraméterezésű részgörbére
a görbe úthosszfüggvénye. Ez az s(t) folytonos és monoton növő függvény, mivel a görbe nem szakadásos. Ha szigorúan monoton növő, akkor invertálható is, az inverz függvény . Ekkor ívhossz szerinti paraméterezése:
Ha folytonosan differenciálható, és minden -ra, akkor is folytonosan differenciálható, és minden -re:
- .
Források
- Planet Math: Arc length Archiválva 2009. február 14-i dátummal a Wayback Machine-ben
- Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1] Archiválva 2008. január 1-i dátummal a Wayback Machine-ben
![]() | Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |