Abel–Plana-formula

A matematikában az Abel–Plana-formula egy összegzési formula, amit egymástól függetlenül fedezett fel Niels Henrik Abel (1823) és Giovanni Antonio Amedeo Plana (1820). Azt állítja, hogy ha az f függvény holomorf a Re(z) ≥ 0 félsíkon, és |f| növekedése korlátozható az C/|z|1+ε függvénnyel, akkor

∑ n = 0 ∞ f ( n ) = ∫ 0 ∞ f ( x ) d x + 1 2 f ( 0 ) + i ∫ 0 ∞ f ( i t ) − f ( − i t ) e 2 π t − 1 d t . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+{\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}

Az előző feltételek elégségesek, de nem szükségesek, gyengébb határokkal is teljesül az összefüggés.(Olver 1997, p. 290)

Alkalmazására példa a Hurwitz-féle zéta-függvény:

ζ ( s , α ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + α ) s = α 1 − s s − 1 + 1 2 α s + 2 ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( s arctan ⁡ t α ) ( α 2 + t 2 ) s 2 d t e 2 π t − 1 . {\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan {\frac {t}{\alpha }}\right)}{(\alpha ^{2}+t^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dt}{e^{2\pi t}-1}}.}

Abel változata az alternáló összegekre:

∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n f ( n ) = 1 2 f ( 0 ) + i ∫ 0 ∞ f ( i t ) − f ( − i t ) 2 sinh ⁡ ( π t ) d t . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{2\sinh(\pi t)}}\,dt.}

Fordítás

  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Abel–Plana formula című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

  • Abel, N.H. (1823), Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies
  • Butzer, P. L.; Ferreira, P. J. S. G. & Schmeisser, G. et al. (2011), "The summation formulae of Euler–Maclaurin, Abel–Plana, Poisson, and their interconnections with the approximate sampling formula of signal analysis", Results in Mathematics 59 (3): 359–400, ISSN 1422-6383, doi:10.1007/s00025-010-0083-8, <http://dx.doi.org/10.1007/s00025-010-0083-8>
  • Olver, Frank William John (1997), Asymptotics and special functions, AKP Classics, Wellesley, MA: A K Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-069-0
  • Plana, G.A.A. (1820), "Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites", Mem. Accad. Sci. Torino 25: 403–418