A Ceva-tétel a háromszögekben található szakaszokkal tesz fontos állítást. A tétellel a magasságtétel, szögfelező-tétel vagy az oldalafelezőkre vonatkozó tétel könnyen bizonyítható. A tételt eredetileg Giovanni Ceva olasz matematikus tette közzé 1678-ban.[1]
Tétel
Az háromszögben , és egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban (), ha
Ezeket összeszorozva kapjuk a megfelelő egyszerűsítésekkel a képletet:
.
Megjegyzés (trigonometrikus Céva-tétel)
A tétel eredeti formában nehezebb feladatoknál igen nehézkesen alkalmazható. Ezért a szinusztétel segítségével felírhatjuk trigonometrikus alakban is: az háromszögben , és egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban, ha
.
Területekkel
Használjuk fel azt a tételt, miszerint az egyenlő magasaságú háromszögek területe arányos az alapjaikkal. Ekkor
Hasonlóan kapjuk, hogy
A fenti arányokat összeszorozva kapjuk a tétel állítását:
[1]
Források
↑ ab Coxeter, H. S. M., S. L. Greitzer. Az újra felfedezett geometria, (ford. Merza József), Budapest: Gondolat [1967] (1977)
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap