Dedekind-gyűrű

A Dedekind-gyűrűk a racionális egészek gyűrűjének általánosításaként foghatók fel, elsősorban az algebrai számelméletben és a kommutatív algebrában bírnak jelentős szereppel. Richard Dedekind német matematikusról vannak elnevezve.

Egy ${\displaystyle R}$ integritási tartományt Dedekind-gyűrűnek nevezünk, ha teljesül rá a következő ekvivalens feltételek bármelyike:

• Bármely ${\displaystyle (0)\neq I\subseteq R}$ ideál invertálható.
• Bármely törtideál invertálható.
• ${\displaystyle R}$ Noether-gyűrű és bármely ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}$ prímideálra az ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ lokalizált test vagy diszkrét értékelésgyűrű.
• ${\displaystyle R}$ test vagy egydimenziós, Noether-tulajdonságú és egészre zárt.
• ${\displaystyle R}$ test vagy egydimenziós, Noether-tulajdonságú és reguláris.
• ${\displaystyle R}$ bármely ideálja egyértelműen felírható prímideálok szorzataként.

• Minden főideálgyűrű, speciálisan minden diszkrét értékelésgyűrű Dedekind.
• Ha ${\displaystyle K}$ egy számtest, akkor a ${\displaystyle K}$-beli algebrai egészek ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ gyűrűje Dedekind.
• Dedekind-gyűrű lokalizáltja is Dedekind.

Nem Dedekind-gyűrűk a következő integritási tartományok:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ (nem egydimenziós)
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]}$ (nem egészre zárt)

• Ha ${\displaystyle R}$ Dedekind-gyűrű, ${\displaystyle (0)\neq I\subseteq R}$ ideál, akkor ${\displaystyle R/I}$ főideálgyűrű.
• Egy Dedekind-gyűrű bármely ideálja generálható legfeljebb két elemmel. Következésképpen minden Dedekind-gyűrű Noether-tulajdonságú.

• Nicholas Schwab, Ferdinand Wagner: Algebra II. (Hozzáférés: 2018. március 2.)^{[halott link]}
• Hideyuki Matsumura. Commutative Ring Theory. Cambridge University Press (1989). ISBN 0 521 36764 6 

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Dedekindring című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.