Dini-féle konvergenciakritérium

A Fourier-sorok konvergenciájára számos elégséges feltétel ismeretes. Ezek közül az egyik legegyszerűbb a következő:

DINI-FÉLE KRITÉRIUM. Legyen ${\displaystyle \varphi _{x}(t)=f(x-t)+f(x+t)-2f(x)}$. Ha valamely ${\displaystyle x}$-re a

${\displaystyle {\frac {\varphi _{x}(t)}{t}}}$

függvény a ${\displaystyle t=0}$ pont környezetében ${\displaystyle t}$-nek integrálható függvénye (Lebesgue-értelemben), akkor

${\displaystyle s_{n}(x)\rightarrow f(x),(n\rightarrow \infty )}$

Bizonyítás. A Dirichlet-féle képletekből

${\displaystyle s_{n}(x)-f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\varphi _{x}(t){\frac {\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t}{2\sin {\frac {1}{2}}t}}\,dt=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\varphi _{x}(t)}{t}}\ {\frac {t}{2\sin {\frac {1}{2}}t}}\cdot \sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\,dt}$

A ${\displaystyle {\frac {t}{2\sin {\frac {1}{2}}t}}}$ függvény a ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$ zárt intervallumon folytonos, így korlátos, az ${\displaystyle {\frac {\varphi _{x}(t)}{t}}}$ integrálható függvénnyel való szorzata is integrálható. A Riemann–Lebesgue lemma szerint tehát ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ esetén, az integrál ${\displaystyle 0}$-hoz tart.

A Dini-féle kritérium speciális eseteként adódik a Lipschitz-féle konvergenciakritérium.

• Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok (1954).