Dirichlet-tétel
A számelméletben L. Dirichlet nevezetes tétele azt állítja, hogy minden
számtani sorozatban végtelen sok prím van, feltéve, hogy a és q>0 relatív prímek.[1]
Írásban csak Dirichlet halála (1859) után látott napvilágot a tétel, a szerző Vorlesungen über Zahlentheorie c. posztumusz művében (először kiadva: 1863, későbbi kiadások: 1863-1894); ami kollégája, Richard Dedekind kiadásában jelent meg, és Dedekind csatolta (VI. számú függelékként) a könyvhöz. A Dirichlet-tétel volt az első jelentősebb analitikus számelméleti eredmény.[2]
Egyszerű esetek
Számos speciális esetét könnyű bebizonyítani, az például, hogy végtelen sok 4k-1, alakú prím van, onnan adódik, hogy minden 4A-1 alakú számnak van ilyen prímosztója, ezért, ha csak véges sok ilyen lenne, ezek szorzatát A-ba írva ellentmondást kapunk. Hasonlóan kapjuk a 6k-1 alakú prímek esetét is. De tulajdonképpen a Fermat-számok tulajdonságaiból adódik, hogy végtelen sok 8k+1 (illetve 16k+1, 32k+1,…) alakú prím van, hiszen F2, F3,… prímosztói mind ilyen alakúak és ezek mind relatív prímek.
Ennél általánosabb és még mindig egyszerűen igazolható, hogy bármilyen q>1-re végtelen sok 1+kq alakú prímszám van. Ehhez elég igazolni Bauer Mihály tételét: ha a egész, akkor Φq(a) minden p prímosztója vagy osztja q-t vagy 1+kq alakú (itt Φq(x) a q-adik körosztási polinom). Legyen ugyanis a rendje d modulo q (azaz d a legkisebb, amire q osztója ad-1-nek). Ez létezik, mert p nem oszthatja a-t. Mivel , d osztója q-nak. A kis Fermat-tétel miatt d osztja p-1-et is. Ha d=q, készen vagyunk. Ha d<q, akkor a körosztási polinomok tulajdonságai miatt , tehát az őt osztó p is osztója a
számnak.
Ez viszont így fejthető ki:
és itt a tagok mind 1 maradékot adnak p-vel osztva, tehát p osztója q/d-nek tehát q-nak.
Bizonyítás
Dirichlet az általa bevezetett karakterek és ún. L-sorok segítségével bizonyította. Ez a bizonyítás három lépésből áll:
- az állítás visszavezetése arra, hogy egyik mod q L-függvénynek sem gyöke az s=1 érték,
- a fenti kijelentés bizonyítása komplex karakterekre,
- bizonyítása valós karakterekre (ez a lépés lényegesen nehezebb, mint az előző kettő).
Kiterjesztések, általánosítások
Linnyik tétele: van olyan L konstans, hogy a (fenti feltételt kielégítő) q differenciájú számtani sorozat legkisebb prímszáma legfeljebb qL.
Dircihlet tételének az az esete, hogy végtelen sok 4k+1 alakú prím van, összekombinálva a kétnégyzetszám-tétellel azt adja, hogy végtelen sok alakú prímszám van.
Friedlander és Iwaniec bebizonyította hogy végtelen sok alakú prím is van, míg Roger Heath-Brown azt látta be, hogy végtelen sok alakú prímszám van.
Jegyzetek
- ↑ Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 93. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8
- ↑ Dean, E. T.: Dedekind's treatment of Galois Theory in the Vorlesungen Archiválva 2014. május 11-i dátummal a Wayback Machine-ben. A Dietrich College of Humanities and Social Sciences Filozófiai Tanszékének közleményei, 109. sz., 2009; 3. oldal. Angol nyelven, PDF. Hozzáférés: 2012-04-27.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap