Elsődleges áltökéletes számok
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Znam-2-3-11-23-31.svg/301px-Znam-2-3-11-23-31.svg.png)
A matematika, azon belül a számelmélet területén N pozitív egész szám elsődleges áltökéletes szám (primary pseudoperfect number), ha kielégíti a következő egyiptomi törtes egyenlőséget:
ahol az összegzés N prímosztóin megy végig. Az egyenletet beszorozva N-nel a következő ekvivalens állítást kapjuk:
A kivételes 2 elsődleges áltökéletes számtól eltekintve az előbbi kifejezés N-et felírja (nem feltétlenül az összes) különböző osztóinak összegeként; épp ezért a kettőn kívül az összes ilyen szám áltökéletes.
Az elsődleges áltökéletes számokat elsőként Butske, Jaje és Mayernik vizsgálta (2000). Az első néhány elsődleges áltökéletes szám:
- 2, 6, 42, 1806, 47058, 2214502422, 52495396602... (A054377 sorozat az OEIS-ben).
A sorozat első négy tagja épp eggyel kevesebb a Sylvester-sorozat megfelelő tagjánál, de a későbbi tagoknál már nem áll fenn ez a megfeleltetés. Nem tudni, hogy létezik-e végtelen sok elsődleges áltökéletes szám, ahogy a páratlan elsődleges áltökéletes számok létezéséről sincs biztos információ.
Az elsődleges áltökéletes számok prímtényezői megoldást jelenthetnek a Znám-probléma eseteire, ahol a megoldáshalmaz minden eleme prím. Például a 47058 elsődleges áltökéletes szám prímtényezői a Znám-probléma {2,3,11,23,31} megoldáshalmazát adják. Mindenesetre a kisebb elsődleges áltökéletes számok közül a 2, 6, 42 és 1806 nem szolgáltatnak ilyen módon megoldást a Znám-problémára, mivel prímtényezőikre nem teljesül a Znám-probléma azon követelménye, hogy a halmaz egyik eleme sem lehet egyenlő az összes többi elem szorzata plusz 1-gyel. Anne (1998) megfigyelése szerint a k darab prímszámból álló ilyen megoldáshalmazokból pontosan egy létezik k ≤ 8 esetre, sejtése szerint ez nagyobb k értékekre is igaz.
Ha egy N elsődleges áltökéletes szám eggyel kisebb egy prímszámnál, akkor N×(N+1) is elsődleges áltökéletes szám. Például a 47058 elsődleges áltökéletes szám, 47059 pedig prímszám, ezért 47058 × 47059 = 2214502422 szintén elsődleges áltökéletes szám.
Kapcsolódó szócikkek
Irodalom
- Anne, Premchand (1998), "Egyptian fractions and the inheritance problem", The College Mathematics Journal (The College Mathematics Journal, Vol. 29, No. 4) 29 (4): 296–300, DOI 10.2307/2687685.
- Butske, William; Jaje, Lynda M. & Mayernik, Daniel R. (2000), "On the equation , pseudoperfect numbers, and perfectly weighted graphs", Mathematics of Computation 69: 407–420, DOI 10.1090/S0025-5718-99-01088-1.
További információk
- Primary Pseudoperfect Number a PlanetMath.org oldalon.
- Weisstein, Eric W.: Primary Pseudoperfect Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld