Euler-összefüggés

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A matematikában Euler-összefüggésnek nevezik a következő egyenlőséget:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

ahol

e az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapja,

i az imaginárius egység, amelyre igaz az i² = −1 egyenlőség,

a pí szám, a kör kerületének és átmérőjének aránya.

A fenti összefüggést Leonhard Euler svájci matematikusról nevezték el.

Az ${\displaystyle \left(e^{t}\right)'=e^{t}}$ formula segítségével könnyen Taylor-sorba fejthetjük ${\displaystyle e^{it}}$-t!

${\displaystyle e^{it}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}}$

A ${\displaystyle \sin(t)}$ és a ${\displaystyle \cos(t)}$ függvények Taylor-sora pedig

${\displaystyle \sin(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}t^{2k+1}}$

illetve

${\displaystyle \cos(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}t^{2k}}$

Vegyük észre, hogy ${\displaystyle e^{it}}$ felbontható az alábbi módon:

${\displaystyle e^{it}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(it)^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(it)^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}t^{2k}+i\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}t^{2k+1}}$

Azaz

${\displaystyle e^{it}=\cos(t)+i\cdot \sin(t),}$

speciálisan ${\displaystyle t=\pi }$-re kapjuk a nevezetes

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

egyenlőséget.