Függvénysorozatok konvergenciája

A valós analízisben függvénysorozaton olyan sorozatot értünk, melynek minden eleme egy valós függvény. A számsorozatokhoz hasonlóan értelmezhető függvénysorozatok konvergenciája is. Ennek két főbb változatát különböztetjük meg: a pontonkénti, illetve az egyenletes konvergenciát.

Legyen az ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} }$ egy ${\displaystyle X\,\!}$ halmazon értelmezett függvénysorozat. Azt mondjuk, hogy ${\displaystyle f_{n}\,\!}$ pontonként konvergál az ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ függvényhez, ha minden rögzített ${\displaystyle x\in X}$ számra

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$.

Jelölése: ${\displaystyle \lim f_{n}=f}$

Tehát az értelmezési tartomány minden ${\displaystyle x\,\!}$ pontjához definiálunk egy olyan számsorozatot, melynek ${\displaystyle n\,\!}$. eleme éppen az az érték, amit ${\displaystyle f_{n}\,\!}$ az ${\displaystyle x\,\!}$-hez rendel. Ha az összes ilyen sorozat konvergens lesz, akkor ezek határértéke kijelöli ${\displaystyle f\,\!}$-nek a különböző ${\displaystyle x\,\!}$-ekhez rendelt értékeit. Ekkor azt mondjuk, hogy ${\displaystyle f_{n}\,\!}$ pontonként konvergens, és limesze az ${\displaystyle f\,\!}$ függvény.

A pontonkénti konvergencia (az egyenletes konvergenciával ellentétben) kivezet a folytonos függvények köréből, azaz még csupa folytonos függvényből álló ${\displaystyle f_{n}\,\!}$ függvénysorozat esetén sem biztos, hogy azok limesze is folytonos lesz.

Legyen ${\displaystyle f_{n}:\left[0,\,1\right]\to \mathbb {R} ,\,f_{n}(x)=x^{n}\!}$. Az ${\displaystyle x^{n}\,\!}$ függvény folytonos a pozitív egész ${\displaystyle n\,\!}$-ekre, ezért ${\displaystyle f_{n}\,\!}$ elemei is azok. Mivel ${\displaystyle x^{n}\,\!}$ a 0-hoz tart ${\displaystyle 0\leq x<1}$ esetén és 1-hez ${\displaystyle x=1\,\!}$ esetén, ezért

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}0\leq x<1\\1,&{\mbox{ha }}x=1\end{cases}}}$.

Ez a függvény nyilván nem folytonos az 1 pontban.

Azt mondjuk, hogy egy ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} }$ függvénysorozat egyenletesen konvergál az ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ függvényhez az ${\displaystyle X\,\!}$ halmazon, ha minden ${\displaystyle \varepsilon >0}$ számhoz létezik olyan ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ küszöbindex, hogy tetszőleges ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ esetén minden ${\displaystyle x\in X}$-re teljesül, hogy

${\displaystyle \left|f(x)-f_{n}(x)\right|<\varepsilon }$.

Jelölése: ${\displaystyle f_{n}\,\!}$ ${\displaystyle f\!}$

Az egyenletes konvergencia már zárt a folytonos függvények halmazára nézve, azaz folytonos függvények limesze is folytonos.

Ha egy egy függvénysorozat egyenletesen tart ${\displaystyle f\,\!}$-hez, akkor pontonként is. Ez fordítva nem feltétlenül igaz. A különbség lényege, hogy adott ${\displaystyle \varepsilon }$ mellett az egyenletes konvergencia esetén minden ${\displaystyle x\,\!}$-hez egy közös, míg a pontonkénti konvergencia esetben ${\displaystyle x\,\!}$-enként különböző küszöbindex található.

• Dancs István: Analízis I.