Gauss–Jordan-elimináció

 Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont!
Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

Gauss-elimináció: legyen adott egy n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer. Ha minden együttható és minden konstans nulla (azaz a bővített mátrix nullmátrix), akkor mindegyik egyenlet 0=0 alakú, és ezért minden szám-n-es megoldás. Ellenkező esetben az egyenletrendszert elemi átalakításokkal lépcsőssé alakíthatjuk.

Carl Friedrich Gauss és Wilhelm Jordan tiszteletére róluk nevezték el.

Mátrixok redukálása diagonális alakra

Ez egy viszonylag könnyen megérthető módszer. Nagyon hasonlít a Gauss-eliminációra, csak annyi az eltérés, hogy az adott oszlop kinullázása mind a főátló alatti, mind a főátló feletti elemeket érinti. 4x4-es mátrix esetén az A mátrix alakulása a következőképpen történik:

A = [ a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a11&a12&a13&a14\\a21&a22&a23&a24\\a31&a32&a33&a34\\a41&a42&a43&a44\end{bmatrix}}.}
A = [ a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 a 32 a 33 a 34 0 a 42 a 43 a 44 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a11&a12&a13&a14\\0&a22&a23&a24\\0&a32&a33&a34\\0&a42&a43&a44\end{bmatrix}}.}
A = [ a 11 0 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 a 43 a 44 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a11&0&a13&a14\\0&a22&a23&a24\\0&0&a33&a34\\0&0&a43&a44\end{bmatrix}}.}
A = [ a 11 0 0 a 14 0 a 22 0 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 0 a 44 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a11&0&0&a14\\0&a22&0&a24\\0&0&a33&a34\\0&0&0&a44\end{bmatrix}}.}
A = [ a 11 0 0 0 0 a 22 0 0 0 0 a 33 0 0 0 0 a 44 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a11&0&0&0\\0&a22&0&0\\0&0&a33&0\\0&0&0&a44\end{bmatrix}}.}

nxn-es mátrix esetén az általános transzformációs képlet a k. oszlop nullázásánál

a i j ( k + 1 ) = a i j ( k ) − a i k ( k ) / a k k ( k ) ∗ a k j ( k ) {\displaystyle a_{ij}^{(k+1)}=a_{ij}^{(k)}-a_{ik}^{(k)}/a_{kk}^{(k)}*a_{kj}^{(k)}}

b i ( k + 1 ) = b i ( k ) − a i k ( k ) / a k k ( k ) ∗ b k ( k ) {\displaystyle b_{i}^{(k+1)}=b_{i}^{(k)}-a_{ik}^{(k)}/a_{kk}^{(k)}*b_{k}^{(k)}}

k = i . . . n {\displaystyle k=i...n} ; i ≠ k {\displaystyle i\neq k} ; j = k . . . n {\displaystyle j=k...n}

Abban az esetben ha nem csak az egyenletrendszer megoldása a kérdés, hanem az A mátrix inverze is érdekel minket, a módszer hatékonysága nem sokkal marad el a többi általános módszertől. Azonban ha a mátrix inverzére nincs szükségünk, a módszer lassúbb mint, a legjobb alternatív megoldás (Pl. az LU felbontás).

Egy lehetséges algoritmus a Gauss-Jordan kiküszöbölésre

function GaussJordan(inout(aij),(bi) i,j=1...n) 

  for k ← 1 to n do
     for i ← 1 to n do
        if (i != k) then
           l←aik / akk
           bi← bi-l*bk
           for j←k to n do
              aij←aij-l*akj
           end for
        end if
     end for
  end for
  return(aij),(bi)

Fontos még megjegyezni, hogy a Gauss-Jordan módszert sosem használjuk a főelem kiválasztás alkalmazása nélkül.

Inverzek megtalálásának módszere

Ha a Gauss-Jordan eliminációt négyzet mátrixhoz alkalmazzuk, akkor használható a mátrix inverzének kiszámításához. Ez megtehető a négyzet mátrixnak ugyanazon dimenziók megegyező mátrixaival való fokozásával, a következő mátrix műveleten keresztül:

[ A I ] ⟹ A − 1 [ A I ] ⟹ [ I A − 1 ] . {\displaystyle [AI]\Longrightarrow A^{-1}[AI]\Longrightarrow [IA^{-1}].}

Ha az eredeti négyzet mátrix A, A {\displaystyle A} , megfelel a következő kifejezésnek:

A = [ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}.}

Azután az azonosság fokozásával a következő áll fenn:

[ A I ] = [ 2 − 1 0 1 0 0 − 1 2 − 1 0 1 0 0 − 1 2 0 0 1 ] . {\displaystyle [AI]={\begin{bmatrix}2&-1&0&1&0&0\\-1&2&-1&0&1&0\\0&-1&2&0&0&1\end{bmatrix}}.}

Az alapvető számsorú műveletek végrehajtásával a mátrixon [AI] amíg A eléri a csökkentett számsorú lépcsős formát, a következő lesz a végső eredmény:

[ I A − 1 ] = [ 1 0 0 3 4 1 2 1 4 0 1 0 1 2 1 1 2 0 0 1 1 4 1 2 3 4 ] . {\displaystyle [IA^{-1}]={\begin{bmatrix}1&0&0&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\0&1&0&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\0&0&1&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{bmatrix}}.}

A mátrix növelése/fokozása/szaporítása most már megszüntethető, amely a következőt adja:

I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A − 1 = [ 3 4 1 2 1 4 1 2 1 1 2 1 4 1 2 3 4 ] . {\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad A^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{bmatrix}}.}

A mátrix nem szinguláris (mely azt jelenti, hogy van inverz mátrixa), ha az azonos mátrix elérhető csak alapvető számsori műveletekkel.

Források

  • Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69–80.
  • Strang, Gilbert (2003). Introduction to Linear Algebra, 3rd edition, Wellesley, Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, 74-76.
  • Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába; Polygon Kiadó; 2003
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!
  • matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap