A geometriában a Hérón-képlet a háromszög területét adja meg a háromszög oldalainak függvényében:
![{\displaystyle T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c17aa0115320b3e0cddc5c38aaccd0e9bc7ddc8)
![{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c1df03072be6a89b9eb5434a4e89fa219ee230)
ahol a, b és c a háromszög oldalai, s a háromszög kerületének a fele, és T a háromszög területe.
A képletet az alexandriai Hérón vezette be.
Bizonyítás
Elemi
Teljesen elemi (a Pitagorasz-tételre és nevezetes azonosságokra épülő) bizonyítása történhet az általános magasságtétel segítségével.
Trigonometriai
A trigonometriai jellegű bizonyításhoz induljunk ki a koszinusztételből:
![{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe504051b446613759355200b7f05de4f2ef4d6)
illetve abból a képletből, amely a háromszög területét két oldal és a közrezárt szög segítségével fejezi ki:
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Ha a fenti képletbe behelyettesítjük a értékét, vagyis
![{\displaystyle a=2s-b-c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a10e4956e2ea100aa18ad6b6b61f0d66d174c58)
akkor pont a Hérón-képletet kapjuk.
Geometriai
Hasonló háromszögek Elég annyit belátni, hogy
![{\displaystyle t=rs=r_{a}(s-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b416ac5d58e75ce57fac259d532d83ebbae8e49f)
![{\displaystyle rr_{a}=(s-b)(s-c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04e003c5095d750ed61f9988765187341685625)
mert ebből már következik, hogy
Az ábráról leolvasható, hogy
![{\displaystyle t=t_{AOB}+t_{BOC}+t_{COA}={\frac {ar+br+cr}{2}}=rs,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9ca01c9d4990cef503dfd36c8023bdaafc16c6)
és
valamint az
és
derékszögű háromszögek hasonlók.
Könnyen igazolható, hogy
és
, tehát
A tétel általánosítása gömbháromszögekre vonatkozóan a l'Huillier-tétel.
Más Hérón-képletek
A következőket szintén szokták Hérón-képletnek nevezni:
A húrnégyszög területe
,
ahol
.
Az általános konvex négyszög területe
,
ahol s, mint előbb,
, és α és γ a négyszög két szemben fekvő szöge.
Az egyenlő oldalú tetraéder térfogata:
![{\displaystyle V={\frac {1}{3}}{\sqrt {s^{2}(s^{2}-a^{2})(s^{2}-b^{2})(s^{2}-c^{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c08c5007c89da8bd7ae56a74c481041d1ee36f)
ahol a, b, c a tetraéder egy lapjának oldalhosszai, és
.
Kapcsolódó szócikkek
- Brahmagupta indiai matematikus
Források
- A Matematika Tanítása 2001. 5. szám
- (angolul) Eric W. Weisstein, "Heron's Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html