Lévy-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Lévy-eloszlás olyan folytonos valószínűség-eloszlás, mely nem negatív valószínűségi változókra érvényes.

Az eloszlás Paul Pierre Lévy francia matematikusról kapta a nevét.

A Lévy-eloszlás az inverz gamma-eloszlás speciális esete.

A Lévy-eloszlás azon kevés eloszlások közé tartozik, melyeket stabil eloszlásnak neveznek. Ilyenek még a normális eloszlás, és a Cauchy-eloszlás, melyeknek általában nincs analitikusan kifejezhető valószínűség sűrűségfüggvényük.

• Geomágneses jelenségek közel Lévy-eloszlást követnek
• A Brown mozgáskor egy pont Lévy-eloszlás szerint mozog
• Zavaros közegben egy foton pályája Lévy-eloszlást mutat^[1]

A sűrűségfüggvény a ${\displaystyle x\geq \mu }$ tartományban:

${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}$

ahol ${\displaystyle \mu }$ a helyparaméter, és ${\displaystyle c}$ a skálaparaméter. A kumulatív eloszlásfüggvény:

${\displaystyle F(x;\mu ,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}$

ahol ${\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)}$ a hibafüggvény.

A ${\displaystyle \mu }$ helyparaméter hatására a görbe ${\displaystyle \mu }$ értékkel eltolódik jobbra. A Lévy-eloszlásnak, mint minden stabil eloszlásnak, van egy standard formája f(x;0,1), melynek a következő jellemző tulajdonsága van:

${\displaystyle f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy\,}$

ahol y:

${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}\,}$

A karakterisztikus függvény:

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$

A stabil eloszlásoknál a karakterisztikus függvényt ${\displaystyle \alpha =1/2}$, és ${\displaystyle \beta =1}$ esetekre fel lehet írni:

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~{\textrm {sign}}(t))}.}$

Feltételezve, hogy a ${\displaystyle \mu =0}$, az nik momentum az eltolatlan Lévy-eloszlásnál:

${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx}$

mely divergál minden n> 0 esetében, így a Lévy-eloszlás momentumai nem léteznek. A momentum generáló függvény:

${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx}$

mely t>0-nál divergál, ezért nem definiálható zéró közeli tartományokban, és ezért nem definiálható saját magában. Mint minden stabil eloszlásnál, kivéve a normális eloszlást, a sűrűségfüggvény “szárnyai” viselkedése:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~{\frac {1}{x^{3/2}}}.}$

Ezt az alábbi ábra mutatja, ahol a sűrűségfüggvény látható különböző c és ${\displaystyle \mu =0}$ értékek mellett, log-log ábrázolásban:

• Ha ${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(\mu ,c)\,}$, akkor ${\displaystyle kX+b\sim {\textrm {Levy}}(k\mu +b,kc)\,}$
• Ha ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}$, akkor ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$ (inverz gamma eloszlás)
• A Lévy-eloszlás 5. tipusú Pearson-eloszlás
• Ha ${\displaystyle Y\,\sim \,{\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ (Normális eloszlás), akkor ${\displaystyle {(Y-\mu )}^{-2}\sim \,{\textrm {Levy}}(0,1/\sigma ^{2})}$
• Ha ${\displaystyle X\sim {\textrm {Normal}}(\mu ,{\tfrac {1}{\sqrt {\sigma }}})\,}$ , akkor ${\displaystyle {(X-\mu )}^{-2}\sim {\textrm {Levy}}(0,\sigma )\,}$
• Ha ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$, akkor ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Stable}}(1/2,1,c,\mu )\,}$ (Stabil eloszlás)
• Ha ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}$ akkor ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Scale-inv-}}\chi ^{2}(1,c)}$ (Skálázott inverz khí-négyzet eloszlás)
• Ha ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$, akkor ${\displaystyle {(X-\mu )}^{-{\tfrac {1}{2}}}\sim \,{\textrm {FoldedNormal}}(0,1/{\sqrt {c}})}$ (Féloldalas normális eloszlás)

• Tartomány =${\displaystyle x\in [\mu ,\infty )}$
• Sűrűségfüggvény =${\displaystyle {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}$
• Kumulatív eloszlás f. =${\displaystyle {\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}$
• Várható érték =${\displaystyle \infty }$
• Medián =${\displaystyle c/2({\textrm {erfc}}^{-1}(1/2))^{2}\,}$, for ${\displaystyle \mu =0}$
• Módusz =${\displaystyle {\frac {c}{3}}}$, for ${\displaystyle \mu =0}$
• Szórásnégyzet =${\displaystyle \infty }$
• Ferdeség =nem definiált
• Lapultság = nem definiált
• Entrópia =${\displaystyle {\frac {1+3\gamma +\ln(16\pi c^{2})}{2}}}$

ahol ${\displaystyle \gamma }$ az Euler-állandó

• Momentgeneráló függvény = nem definiált
• Karakterisztikus függvény=${\displaystyle e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}}$

1. * Rogers, Geoffrey L: Multiple path analysis of reflectance from turbid media. (hely nélkül): Journal of the Optical Society of America A, 25:11. 2008. 2879–2883. o.  

• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Normális eloszlás

• Adatok Archiválva 2006. október 30-i dátummal a Wayback Machine-ben