Markov-egyenlőtlenség (valószínűségszámítás)

A Markov-egyenlőtlenség a valószínűségszámításban becslést ad arra, hogy a valószínűségi változó kimenetele mekkora valószínűséggel halad meg egy megadott számot. Andrej Andrejevics Markov után nevezték el.

Legyen ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ valószínűségi mező, ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ valós értékű valószínűségi változó, ${\displaystyle a}$ adott valós szám és ${\displaystyle h\colon D\rightarrow [0,\infty )}$ monoton növő függvény. Továbbá ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ értelmezési tartománya tartalmazza ${\displaystyle X}$ képhalmazát. Ekkor az általános Markov-egyenlőtlenség szerint

${\displaystyle h(a)P\left[X\geq a\right]\leq \operatorname {E} \left[h(X)\right],}$

ami ${\displaystyle h(a)>0}$ esetén írható úgy is, mint

${\displaystyle P\left[X\geq a\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[h(X)\right]}{h(a)}}.}$

Legyen ${\displaystyle h(x)=x}$, ha ${\displaystyle x\geq 0}$, és legyen ${\displaystyle |X|}$ valós valószínűségi változók, ekkor ${\displaystyle a>0}$ esetén adódik a speciális eset:

${\displaystyle P\left[|X|\geq a\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[|X|\right]}{a}}.}$

Ezt a speciális esetet területek összehasonlításával lehet bizonyítani, és hasonló módon a Csebisev-egyenlőtlenség is bizonyítható.^[1]

Legyen ${\displaystyle a=c\cdot \operatorname {E} [|X|]}$, ahol ${\displaystyle c>0}$, akkor következik a ${\displaystyle c>0}$-szeres túllépést becslő változat:

${\displaystyle P\left[|X|\geq c\cdot \operatorname {E} [|X|]\right]\leq {\frac {\operatorname {E} \left[|X|\right]}{c\cdot \operatorname {E} \left[|X|\right]}}={\frac {1}{c}}.}$

Legyen ${\displaystyle h(x)=I_{\mathbb {R} ^{+}}(x)\,x^{2}}$ és alkalmazzuk a Markov-egyenlőtlenséget az ${\displaystyle Y=|X-\operatorname {E} [X]|}$ valószínűségi változóra. Ekkor ${\displaystyle a>0}$ esetén a Csebisev-egyenlőtlenséghez jutunk:

${\displaystyle P\left[|X-\operatorname {E} [X]|\geq a\right]\leq {\frac {\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]}{a^{2}}}={\frac {\operatorname {Var} [X]}{a^{2}}}.}$

Korlátos valószínűségi változó esetén Markov-szerű becslés adható arra, hogy a valószínűségi változó értéke a várható érték ${\displaystyle (1-c)}$-szerese alatt marad. Legyenek ${\displaystyle a,b>0}$ és legyen ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó úgy, hogy ${\displaystyle |X|\leq a}$ és ${\displaystyle \operatorname {E} \left[|X|\right]\geq {\frac {a}{b}}}$. Ekkor minden ${\displaystyle c>0}$ esetén:

${\displaystyle P\left[|X|\leq (1-c)\operatorname {E} \left[|X|\right]\right]\leq 1-{\frac {c}{b}}.}$

Ez a változat önállóan is bizonyítható, az eredeti Markov-egyenlőtlenséghez hasonlóan.^[2]

Ha ${\displaystyle h(x)=e^{tx}}$, akkor alkalmas ${\displaystyle t>0}$ paraméterrel nagyon jó becslést lehet nyerni, lásd Csernov-egyenlőtlenség. Sőt, megfelelő feltételek esetén ez a becslés optimális.

Legyen ${\displaystyle I_{A}}$ az ${\displaystyle A}$ halmaz indikátorfüggvénye. Ekkor

${\displaystyle h(a)P\left[X\geq a\right]=\int I_{\{X\geq a\}}h(a)\ dP\leq \int I_{\{X\geq a\}}h(X)\ dP\leq \operatorname {E} \left[h(X)\right].}$

Ez a szócikk részben vagy egészben a Markow-Ungleichung (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.