Menelaosz-tétel

Nem tévesztendő össze a következővel: Menelaosz spártai király.

A Menelaosz-tétel az alexandriai Menelaosz ógörög matematikus által felhasznált tételek egyike. Valójában ő csak a gömbháromszögekről írott művében csak említést tesz róla, de nála korábbi munkákban nem találkozunk vele, így őt tekintjük a tétel felállítójának.^[1]

Ha egy tetszőleges ABC háromszög oldalegyenesére illeszkedő M, E és N pontok egy egyenesen vannak, akkor és csak akkor

${\displaystyle {\frac {AM}{MC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}\cdot {\frac {BN}{NA}}=-1}$

${\displaystyle AC}$ oldallal párhuzamost húzunk ${\displaystyle B}$-ből, ez ${\displaystyle MEN}$ egyenest egy ${\displaystyle F}$ pontban metszi. Ekkor:

${\displaystyle \bigtriangleup AMN\sim \bigtriangleup BFN\Rightarrow {\frac {AM}{BF}}={\frac {NA}{NB}}}$

és

${\displaystyle \bigtriangleup CEM\sim \bigtriangleup BEF\Rightarrow {\frac {CE}{EB}}={\frac {MC}{BF}}}$

Ezeket összeszorozva kapjuk:

${\displaystyle {\frac {AM}{BF}}\cdot {\frac {CE}{EB}}={\frac {NA}{NB}}\cdot {\frac {MC}{BF}}}$.

${\displaystyle {\frac {AM}{MC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}\cdot {\frac {NB}{NA}}=1}$

De ${\displaystyle NB=-BN}$, ezért ${\displaystyle {\frac {AM}{MC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}\cdot {\frac {BN}{NA}}=-1}$- QED

A Wikimédia Commons tartalmaz Menelaosz-tétel témájú médiaállományokat.

Ez a geometriai témájú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!