Negyedfokú egyenlet

A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény, a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró.

Általános alakja: ${\displaystyle a\cdot x^{4}+b\cdot x^{3}+c\cdot x^{2}+d\cdot x+e=0\,}$

Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.

Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.

Ha ${\displaystyle \Delta \geq 0}$

${\displaystyle \left(B=0\right)}$ és ${\displaystyle \left(A>0\right)}$ és ${\displaystyle \left(C={\frac {{A}^{2}}{4}}\right)}$ esetén:
${\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}_{1,2}}=-{\frac {b}{4a}}+i\cdot {\sqrt {\frac {A}{2}}}\\&{{x}_{3,4}}=-{\frac {b}{4a}}-i\cdot {\sqrt {\frac {A}{2}}}\\\end{aligned}}}$

ellenkező esetben:
 ${\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}_{1,2}}=-{\frac {b}{4a}}+sig\left(-B\right){\sqrt {-{\frac {A}{6}}+u+v}}\pm {\sqrt {-{\frac {A}{3}}-\left(u+v\right)+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{6}}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}}-C}}}}\\&{{x}_{3,4}}=-{\frac {b}{4a}}-sig\left(-B\right){\sqrt {-{\frac {A}{6}}+u+v}}\pm i\cdot {\sqrt {{\frac {A}{3}}+\left(u+v\right)+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{6}}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}}-C}}}}\\\end{aligned}}}$

Ha ${\displaystyle \Delta <0}$

${\displaystyle \left(C>{\frac {{A}^{2}}{4}}\right)}$ vagy ${\displaystyle \left(A>0\right)}$ esetén:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}_{1,2}}=-{\frac {b}{4a}}-sig\left(-B\right){\sqrt {{Y}_{1}}}\pm i\cdot \left({\sqrt {-{{Y}_{2}}}}+{\sqrt {-{{Y}_{3}}}}\right)\\&{{x}_{3,4}}=-{\frac {b}{4a}}+sig\left(-B\right){\sqrt {{Y}_{1}}}\pm i\cdot \left({\sqrt {-{{Y}_{2}}}}-{\sqrt {-{{Y}_{3}}}}\right)\\\end{aligned}}}$

ellenkező esetben mind a négy gyök valós:

 ${\displaystyle {\begin{aligned}&{{x}_{1,2}}=-{\frac {b}{4a}}+sig\left(-B\right){\sqrt {{Y}_{1}}}\pm \left({\sqrt {{Y}_{2}}}+{\sqrt {{Y}_{3}}}\right)\\&{{x}_{3,4}}=-{\frac {b}{4a}}-sig\left(-B\right){\sqrt {{Y}_{1}}}\pm \left({\sqrt {{Y}_{2}}}-{\sqrt {{Y}_{3}}}\right)\\\end{aligned}}}$

Megjegyzések:

${\displaystyle A=-{\frac {3{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}}}+{\frac {c}{a}}}$, ${\displaystyle B={\frac {{b}^{3}}{8{{a}^{3}}}}-{\frac {bc}{2{{a}^{2}}}}+{\frac {d}{a}}}$, ${\displaystyle C=-{\frac {3{{b}^{4}}}{256{{a}^{4}}}}+{\frac {{{b}^{2}}c}{16{{a}^{3}}}}-{\frac {bd}{4{{a}^{2}}}}+{\frac {e}{a}}}$

${\displaystyle P=-{\frac {{A}^{2}}{48}}-{\frac {C}{4}}}$, ${\displaystyle Q=-{\frac {{A}^{3}}{864}}-{\frac {{B}^{2}}{64}}+{\frac {AC}{24}}}$, ${\displaystyle \Delta ={{\left({\frac {Q}{2}}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {P}{3}}\right)}^{3}}}$, ${\displaystyle u,v={\sqrt[{3}]{-{\frac {Q}{2}}\pm {\sqrt {\Delta }}}}}$

${\displaystyle {{Y}_{k}}=-{\frac {A}{6}}+2{\sqrt {-P/3}}\cdot \cos \left({\frac {2\left(k-1\right)\cdot \pi }{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot \arccos {\frac {-Q/2}{\sqrt {-{{\left(P/3\right)}^{3}}}}}\right)}$


${\displaystyle sig\left(x\right)=\left\{{\begin{aligned}&+1,x\geq 0\\&-1,x<0\\\end{aligned}}\right.}$

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-{\frac {d}{a}}}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}={\frac {e}{a}}}$

Mivel
${\displaystyle {{\left({{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}\right)}^{4}}-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right){{\left({{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}\right)}^{2}}-8{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}\left({{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}\right)+{{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)=0}$

ebből következik, hogy az

${\displaystyle {{X}^{4}}-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\cdot {{X}^{2}}-8{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}\cdot X+{{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)=0}$

alakú negyedfokú egyenlet egyik gyöke ${\displaystyle {{X}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}}$

Ez igaz marad akkor is ha ${\displaystyle X={{y}_{1}}\pm \left({{y}_{2}}+{{y}_{3}}\right)}$ vagy ${\displaystyle X=-{{y}_{1}}\pm \left({{y}_{2}}-{{y}_{3}}\right)}$ tehát az

${\displaystyle {{X}^{4}}-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\cdot {{X}^{2}}-8{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}\cdot X+{{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)=0}$

alakú negyedfokú egyenlet gyökei:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{{X}_{1,2}}=+{{y}_{1}}\pm \left({{y}_{2}}+{{y}_{3}}\right)\\&{{X}_{3,4}}=-{{y}_{1}}\pm \left({{y}_{2}}-{{y}_{3}}\right)\\\end{aligned}}}$

Ebből következik, hogy az ${\displaystyle {{X}^{4}}+A\cdot {{X}^{2}}+B\cdot X+C=0}$ negyedfokú egyenlet gyökeit úgy kaphatjuk meg ha az

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&-2\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)=A\\&-8{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=B\\&{{\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)}^{2}}-4\left(y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}\right)=C\\\end{aligned}}\right.}$

egyenletrendszerből kiszámoljuk az ${\displaystyle {{y}_{1,2,3}}}$ ismeretleneket ${\displaystyle A,B,C}$ függvényében.
Kicsit átrendezve:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}=-{\frac {A}{2}}\\&y_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{3}^{2}+y_{2}^{2}y_{3}^{2}={\frac {{A}^{2}}{16}}-{\frac {C}{4}}\\&y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2}={\frac {{B}^{2}}{64}}\\\end{aligned}}\right.}$

Amiből felírható a következő hatodfokú egyenlet:

${\displaystyle {{\left({{y}^{2}}\right)}^{3}}+{\frac {A}{2}}\cdot {{\left({{y}^{2}}\right)}^{2}}+\left({\frac {{A}^{2}}{16}}-{\frac {C}{4}}\right)\cdot \left({{y}^{2}}\right)-{{\left({\frac {B}{8}}\right)}^{2}}=0}$

melynek gyökei kiszámíthatóak az általános harmadfokú egyenlet megoldóképletével.
Ennek a hatodfokú egyenletnek hat gyöke van de csak arra a háromra van szükség melyekre teljesül az

${\displaystyle {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=-{\frac {B}{8}}}$ összefüggés.

${\displaystyle {\begin{aligned}&P=-{\frac {{A}^{2}}{48}}-{\frac {C}{4}}\\&Q=-{\frac {{A}^{3}}{864}}-{\frac {{B}^{2}}{64}}+{\frac {AC}{24}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta ={{\left({\frac {Q}{2}}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {P}{3}}\right)}^{3}}\\&u,v={\sqrt[{3}]{-{\frac {Q}{2}}\pm {\sqrt {\Delta }}}}\\\end{aligned}}}$

Ha ${\displaystyle \Delta \geq 0}$ akkor:

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{1}^{2}=-{\frac {A}{6}}+u+v\\&y_{2,3}^{2}=-{\frac {A}{6}}-{\frac {u+v}{2}}\pm i{\frac {\left(u-v\right){\sqrt {3}}}{2}}\\\end{aligned}}}$

vagyis

${\displaystyle {{y}_{1}}={\sqrt {-{\frac {A}{6}}+u+v}}}$

${\displaystyle {{y}_{2,3}}}$ pedig egyszerűsíthető alkalmazva a gyökvonást komplex számból:

${\displaystyle {\sqrt {\alpha \pm i\cdot \beta }}=\pm \left({\sqrt {\frac {\alpha +{\sqrt {{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}}}{2}}}\pm i\cdot sig\left(b\right)\cdot {\sqrt {\frac {-\alpha +{\sqrt {{{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}}}}{2}}}\right)}$

ennek eredményeként:

${\displaystyle {{y}_{2,3}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {A}{3}}-\left(u+v\right)+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{6}}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}}-C}}}}\pm {\frac {i}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {A}{3}}+\left(u+v\right)+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{6}}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}}-C}}}}}$

Mivel: ${\displaystyle {{y}_{2}}\cdot {{y}_{3}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{{\left({\frac {A}{6}}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}}-C}}\geq 0}$

ezért ${\displaystyle {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=-{\frac {B}{8}}}$ csak úgy teljesül ha ${\displaystyle {{y}_{1}}=sig\left(-B\right){\sqrt {-{\frac {A}{6}}+u+v}}}$

Tehát pozitív delta esetén a gyökok:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{{X}_{1,2}}=+sig\left(-B\right){\sqrt {-{\frac {A}{6}}+u+v}}\pm {\sqrt {-{\frac {A}{3}}-\left(u+v\right)+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{6}}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}}-C}}}}\\&{{X}_{3,4}}=-sig\left(-B\right){\sqrt {-{\frac {A}{6}}+u+v}}\pm i\cdot {\sqrt {{\frac {A}{3}}+\left(u+v\right)+{\sqrt {{{\left({\frac {A}{6}}+2\left(u+v\right)\right)}^{2}}-C}}}}\\\end{aligned}}}$

Ha ${\displaystyle B=0}$ és ${\displaystyle A>0}$ és ${\displaystyle C={\frac {{A}^{2}}{4}}}$ akkor ${\displaystyle -{\frac {A}{6}}+u+v<0}$ vagyis ${\displaystyle {{y}_{1}}}$ komplex szám és ebben az esetben a gyökök:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{{X}_{1,2}}=+i\cdot {\sqrt {\frac {A}{2}}}\\&{{X}_{3,4}}=-i\cdot {\sqrt {\frac {A}{2}}}\\\end{aligned}}}$

Ha ${\displaystyle \Delta <0}$ akkor:

${\displaystyle {{y}_{k}}=\pm {\sqrt {-{\frac {A}{6}}+2{\sqrt {-P/3}}\cdot \cos \left({\frac {2\left(k-1\right)\cdot \pi }{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot \arccos {\frac {-Q/2}{\sqrt {-{{\left(P/3\right)}^{3}}}}}\right)}}}$

Ha ${\displaystyle \left(4\cdot C>{{A}^{2}}\right)}$ és ${\displaystyle \left(A>0\right)}$ akkor ${\displaystyle {{y}_{2,3}}}$ komplex számok lesznek és ${\displaystyle {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}=-{\frac {B}{8}}}$ miatt ${\displaystyle sig\left(-B\right)}$ -nél bejön egy negatív előjel vagyis ekkor a gyökök:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{{X}_{1,2}}=-sig\left(-B\right)\cdot {{y}_{1}}\pm i\cdot \left({\sqrt {-y_{2}^{2}}}+{\sqrt {-y_{3}^{2}}}\right)\\&{{X}_{3,4}}=+sig\left(-B\right)\cdot {{y}_{1}}\pm i\cdot \left({\sqrt {-y_{2}^{2}}}-{\sqrt {-y_{3}^{2}}}\right)\\\end{aligned}}}$

Ellenkező esetben mind a négy gyök valós lesz:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{{X}_{1,2}}=+sig\left(-B\right)\cdot {{y}_{1}}\pm \left({{y}_{2}}+{{y}_{3}}\right)\\&{{X}_{3,4}}=-sig\left(-B\right)\cdot {{y}_{1}}\pm \left({{y}_{2}}-{{y}_{3}}\right)\\\end{aligned}}}$

Az ${\displaystyle a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e=0}$ általános negyedfokú egyenlet az ${\displaystyle x=-{\frac {b}{4a}}+X}$ helyettesítéssel:

${\displaystyle {{X}^{4}}+\overbrace {\left(-{\frac {3{{b}^{2}}}{8{{a}^{2}}}}+{\frac {c}{a}}\right)} ^{A}\cdot {{X}^{2}}+\overbrace {\left({\frac {{b}^{3}}{8{{a}^{3}}}}-{\frac {bc}{2{{a}^{2}}}}+{\frac {d}{a}}\right)} ^{B}\cdot X+\overbrace {\left(-{\frac {3{{b}^{4}}}{256{{a}^{4}}}}+{\frac {{{b}^{2}}c}{16{{a}^{3}}}}-{\frac {bd}{4{{a}^{2}}}}+{\frac {e}{a}}\right)} ^{C}=0}$
alakra hozható és a fenti módszerrel megoldható, vagyis az általános egyenlet gyökei:

${\displaystyle {{x}_{1,2,3,4}}=-{\frac {b}{4a}}+{{X}_{1,2,3,4}}}$ lesznek.

Az ${\displaystyle x^{4}+a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d=0}$ negyedfokú egyenlet

Ludovico Ferraritól (1522-1565) származó módszer szerinti megoldása két másodfokú egyenlet megoldására vezethető vissza. Előbb azonban meg kell oldani egy harmadfokú egyenletet, melynek eredményét a másodfokú egyenletek együtthatóinak képzésekor fogjuk felhasználni. A harmadfokú egyenlet: ${\displaystyle y^{3}+3\cdot p\cdot y+2\cdot q=0,}$ ahol

${\displaystyle 3\cdot p=a\cdot c/4-b\cdot b/12-d}$

${\displaystyle 2\cdot q=a\cdot b\cdot c/24-a\cdot a\cdot d/8-b\cdot b\cdot b/108+b\cdot d/3-c\cdot c/8.}$

Megoldása a Cardano képlettel történik. ${\displaystyle z}$-t úgy kapjuk meg, hogy a harmadfokú egyenlet egyik valós ${\displaystyle y}$ megoldásához ${\displaystyle {\frac {b}{6}}}$-ot hozzáadjuk: ${\displaystyle z=y+b/6}$. A másodfokú egyenletek:

${\displaystyle x^{2}+(a/2+{\sqrt {a\cdot a/4-b+2\cdot z}})\cdot x+z(+/-){\sqrt {z\cdot z-d}}=0}$

${\displaystyle x^{2}+(a/2-{\sqrt {a\cdot a/4-b+2\cdot z}})\cdot x+z(-/+){\sqrt {z\cdot z-d}}=0}$

Kettős műveleti jelnél az alsót akkor kell használni, ha ${\displaystyle a\cdot z-c<0}$. Tekintettel arra, hogy ezeknek a formuláknak az alkalmazása kissé bonyolult (főleg a ${\displaystyle p}$ és ${\displaystyle q}$ segédváltozók kiszámítása) a számítási munkát érdemes számítógépre bízni. A negyedfokú egyenlet Ludovico Ferrari szerinti megoldása (javítva és továbbfejlesztve, PASCAL nyelven megírva) így néz ki:

PROCEDURE negyedfoku (a,b,c,d:REAL);
VAR p,q,z,z2,z3,m,n,w1,w2,w3:REAL;
BEGIN
  p:=(a*c/4-b*b/12-d)/3;
  q:=(a*b*c/24-a*a*d/8-b*b*b/108+b*d/3-c*c/8)/2;
  harmadfoku(p,q,b/6,z,w1,z2,w2,z3,w3);
  IF (w2=0) AND (z2=z3) THEN IF z2>z THEN z:=z2;
  m:=ngyok(a*a/4-b+2*z); 
  n:=ngyok(z*z-d);
  IF a*z-c < -1.e-7 THEN n := -n;
  masodfoku(a/2+m, z+n, x[1],y[1],x[2],y[2]);
  masodfoku(a/2-m, z-n, x[3],y[3],x[4],y[4])
END;

Látható, hogy semmi mást nem csinál, minthogy meghívja a "harmadfokú" eljárást (egyszer), majd a "másodfokú" eljárást (kétszer egymás után), miután kiszámította azok "bemeneti" együtthatóit. ^[1]

• Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 77-78. oldal
• Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 112-113. és 116. oldal.

• A megalázott géniusz, YOUPROOFA negyedfokú egyenlet gyökei megtekinthetők itt.