Nullvektor
A nullvektor a matematikában a vektorterek egy speciális vektora, ami a vektorösszeadás neutrális eleme. Néhány példa nullvektorra: a nulla szám, a nullmátrix és a nullfüggvény. Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor minden vektorra ortogonális. Normált térben az egyetlen nulla normájú vektor. Egy lineáris tér minden altere tartalmazza a tér nullvektorát, ami önmagában is alteret alkot. A nullvektort használják a lineáris algebra több fontos fogalmának definiálásához, mint a lineáris függetlenség, bázis és magtér. Fontos szerepet játszik lineáris egyenletrendszerek megoldásában.
Definíció
Egy vektortér nullvektora az a vektor, amire
minden esetén. Tehát ez az elem a vektorok összeadásának neutrális eleme.
A nullvektor jelölése
A magyar szakirodalomban a nullvektor jelölése egy aláhúzott nulla. Általában meg kell különböztetni az alaptest nullelemétől; csak egydimenziós vektorterekben tekinthetők megegyezőknek. Kezdő- és végpontja egybeesik, irányt nem lehet neki tulajdonítani.
Példák
- A valós számok fölötti vektorterében a nulla szám nullvektor.
- A komplex számok vektorterében a szám a nullvektor, ami szintén megfelel a nulla skalárnak.
- A koordinátatérben a nullvektor a n-es, ahol az összes koordináta a test nulleleme.
- A mátrixtérben a nullelem a nullmátrix, ami az alaptest nullelemével van kitöltve.
- A sorozatok vektorterében a sorozat a nullvektor. Nem tévesztendő össze az analízisben használt nullsorozattal.
- Adva legyen egy halmaz, és egy vektortér. Tekintjük azokat a függvényeket, melyek az halmazból a vektortérbe mennek. Ezek a függvények vektorteret alkotnak, melynek nullvektora az függvény, ahol a célvektortér nullvektora.
Tulajdonságok
Egyértelműség
Egy vektortér nullvektora egyértelmű. Ha egy vektortérben adva van két nullvektor, akkor vizsgálhatjuk az összegüket:
ebből azonnal adódik a vektorok egyenlősége.
Skalárral szorzás
Minden skalárra teljesül, hogy:
és hasonlóan, a vektortér minden vektorára:
- ,
ami közvetlenül adódik a két disztributivitásból az , illetve helyettesítésekből. Ezzel együtt teljesül, hogy:
- vagy ,
mivel abból, hogy következik, hogy vagy , továbbá .
Speciális terek
Normált vektorterekben a nullvektor normája nulla, és a nullvektor az egyetlen ilyen vektor. Ez következik a norma definitségéből és abszolút homogenitásából. Félnormával ellátott terekben több vektor is lehet nulla normával.[1]
Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor ortogonális a tér összes vektorára, vagyis minden esetén
- ,
ami következik a skalárszorzat linearitásából, illetve szemilinearitásából. Speciálisan, a nullvektor ortogonális önmagára, és - a skalárszorzat definitsége miatt - az egyetlen ilyen vektor a vektortérben.
Egy további speciális eset a pszeudoskalárszorzatos vektortereké, melyekben a pszeudoskalárszorzat egy nem feltétlenül pozitív definit bilineáris, komplex terekben szeszkvilineáris forma. Ezt az elméleti fizikában metrikának nevezik. A nulla normájú vektorok alkotják a tér nullkúpját.[2] Fizika szempontjából fontos a Minkowski-tér, ahol ezek a vektorok fényszerűek,[1] és a nullkúp a fénykúp hiperfelülete.
Egy nem feltétlenül pozitív definit kvadratikus alakkal ellátott valós vektortérben izotrópnak nevezik azokat a vektorokat, ahol . Az izotróp vektorok halmaza izotróp kúp, vagy nullkúp. A mennyiséget szintén nevezik pszedudoskalárszorzatnak.[3]
Vektoriális szorzás
A háromdimenziós euklideszi vektortérben tetszőleges vektor és a nullvektor vektoriális szorzata szintén nulla:
- .
Speciálisan, a nullvektor vektoriális szorzata önmagával:
A Jacobi-azonosság is teljesül, azaz három vektorból páronként ciklikusan képzett skalárszorzatok összege a nullvektor:
- .
Alkalmazások
Lineáris kombinációk
Egy vektorcsalád, ahol indexhalmaz, a nullvektor kifejezhető lineáris kombinációként:
A vektorcsalád, illetve elemei lineárisan függetlenek, ha a nullvektor csak egyféleképpen fejezhető ki lineáris kombinációként, mégpedig úgy, hogy minden indexre. Mivel a nullvektor lineárisan függ önmagától, ezért nem lehet lineárisan független vektorcsalád eleme, így nem tartalmazhatja bázis sem.
Egy vektortér alterei mindig tartalmazzák a nullvektort; a legkisebb altér egyedül a nullvektorból áll, ez a nullvektortér. Ennek a bázisa az üres halmaz, mivel vektorok üres összege definíció szerint a nullvektor:
- .
Lineáris leképezések
Legyenek , vektorterek ugyanazon test fölött! Ekkor, ha lineáris leképezés, akkor a nullvektort a nullvektorra képezi le:
- .
A vektortér nullvektorára a vektortér több vektora is leképeződhet. Ezek a vektorok alteret alkotnak, a lineáris leképezés magterét. Egy lineáris leképezés injektív, ha magtere csak a nullvektorból áll.
Lineáris egyenletrendszerek
Egy homogén lineáris egyenletrendszer:
mindig megoldható, hiszen mindig megoldás. Ezt a megoldást triviálisnak nevezzük. Csak a triviális megoldás létezik, ha a lineáris leképezés magja csak a nullvektor.
Ezzel szemben egy inhomogén lineáris egyenletrendszernek:
- ,
sosem megoldása a nullvektor. Egyértelmű megoldása akkor van, ha a hozzá tartozó homogén lineáris egyenletrendszernek csak a triviális megoldása létezik. Ez következik a szuperpozíciós tulajdonságból.
Jegyzetek
Forrás
- Gilbert Strang. Lineare Algebra. Berlin u. a.: Springer (2003. augusztus 31.)
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Nullvektor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.