Polilogaritmus
![]() | Nem tévesztendő össze a következővel: Polilogaritmikus függvény. |
A polilogaritmus-függvény a komplex függvények egyike, nevezik Jonquière-féle függvénynek is. Jelölése: Lis(z).
Definíciói
Hatványsorral
Definíciója végtelen hatványsor alakjával:
- A fenti definíció minden komplex s-re érvényes, valamint minden z argumentumra, ahol |z| < 1; kiterjeszthető |z| ≥ 1 értékekre is az analitikus folytatás módszerével.
- Csak s speciális értékeinél redukálódik a polilogaritmus elemi függvénnyé, mint például logaritmusfüggvénnyé.
Ha s=1, akkor a természetes logaritmus esete áll fenn, Li1(z) = −ln(1−z), s=2 esete a dilogaritmus, más néven Spence-függvény, az s=3 esetét trilogaritmusnak hívják.
Integrálással
A polilogaritmus elnevezés onnan származik, hogy úgy is lehet definiálni, mint többszörösen végrehajtott integrálokat:
így a dilogaritmus a logaritmus integrálja, és így tovább.
Ha s egy nempozitív egész szám, akkor a polilogaritmus racionális függvény.
Alkalmazások
A polilogaritmus előfordul zárt formában a Fermi-Dirac-eloszlás (lásd: Fermi–Dirac-statisztikánál) és a Bose-Einstein-eloszlásnál is, melyeket úgy is hívnak, mint Fermi–Dirac-integrál vagy Bose–Einstein-integrál.
A polilogaritmus nem összetévesztendő a polilogaritmikus függvényekkel vagy az Euler-féle logaritmikus integrállal.
Speciális esetek
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Polylogarithm_plot_negative.svg/300px-Polylogarithm_plot_negative.svg.png)
Speciális esetekben a polilogaritmus kifejezhető más függvényekkel. Ha s egész, akkor a z•∂/∂z ismételt alkalmazásával a Li1(z)-re a következő összefüggések kaphatók:
A polilogaritmus redukálódik a z polinomjainak arányára. Az általános eset a következő véges összeggel fejezhető ki:
ahol S(n,k) másodfajú Stirling-szám. Hasonló formula kapható negatív egészek esetében:[1]
és
ahol Euler-féle szám.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Irodalom
- Apostol, T.M: Polylogarithm. (hely nélkül): Mathematics of Computation 66 (218). 2010. ISBN 978-0521192255
- Bailey, D.H.; Borwein, P.B.; Plouffe, S: On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. (hely nélkül): Cambridge University Press. 1997.
- Vepstas, L: An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". (hely nélkül): Numerical Algorithms 47 (3). 2010. 211–252. o.
Kapcsolódó szócikkek
- http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
- https://launchpad.net/anant
- Spence-függvény
- Logaritmus
Források
- ↑ http://www.cs.kent.ac.uk/pubs/1992/110/