Polinommaradék-tétel

A polinommaradék-tétel (vagy más néven kis Bézout-tétel) az algebra egy tétele polinomok euklideszi osztására vonatkozóan.^[1] Azt állítja, hogy a az ${\displaystyle f(x)}$ polinom maradéka az ${\displaystyle x-a}$-val való osztás után ${\displaystyle f(a)}$. Szélső esetként kapjuk azt a tételt, hogy ${\displaystyle x-a}$ osztója ${\displaystyle f(x)}$-nek akkor és csak akkor, ha ${\displaystyle f(a)=0}$ (Faktorizációs tétel).

A bizonyítás a polinomok euklideszi osztásából következik, vagyis abból, hogy adott ${\displaystyle f(x)}$-hez (az osztandó) és a ${\displaystyle g(x)}$-hez (az osztó) létezik egy egyértelműen meghatározott hányados ${\displaystyle q(x)}$ és maradék ${\displaystyle r(x)}$ úgy, hogy:

${\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x){\text{ és }}r(x)=0{\text{ vagy }}\deg(r)<\deg(g).}$

Legyen ${\displaystyle g(x)=x-a}$, ekkor r vagy 0 vagy 0-adfokú polinom. Bármely esetben r konstans vagyis x-től független, vagyis:

${\displaystyle f(x)=g(x)(x-a)+r.}$

Legyen most ${\displaystyle x=a}$ a fenti egyenletben, így kapjuk, hogy:

${\displaystyle f(a)=r.}$

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polynomial remainder theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.