Síkgörbe

A síkgörbék egydimenziós síkbeli ponthalmazok ^[forrás?]. Vannak összefüggőek és több ágra osztottak, korlátosak és végtelenbe nyúlók. Némelyek alig, mások jobban eltérnek az egyenestől. Az egyszerű görbéken nincsenek hurkok, más görbék önmagukat metszik. A síkgörbéket többféle gyakorlati és elméleti vizsgálatnál használjuk. Megadásuk, definíciójuk nagyon változatos. Sok nevezetes görbe többféleképpen értelmezhező, ennek következtében a görbék osztályozására nem kerülhet sor, csupán jellemző típusokat tudunk kiemelni.(A matematikai elemzés során az egyenest is közéjük soroljuk.)

Bővebben: Görbe (matematika)

Racionális egészfüggvények,

Racionális törtfüggvények,

Irracionális függvények,

Exponenciális és logaritmusfüggvények,

Trigonometrikus és arcus függvények,

Hiperbolikus és Area-függvények.

Kúpszeletek: kör, ellipszis, parabola, hiperbola;

Harmadrendű görbék: Neil-parabola, Agnesi-féle görbe, Descartes-féle levél, cisszoid, sztrofoid;

Negyedrendű görbék: Nikomédész-féle konhoisz, Pascal-féle csiga, kardioid, lemniszkáta, Cassini-görbe;

Cikloisok: közönséges-, hurkolt-, nyújtott-ciklois, epi-/hipociklois, asztroid;

Spirálisok: Arkhimédész-f., Galilei-f., parabolikus -, hiperbolikus -, logaritmikus spirál, klotoid (= cornu spirál), lituus (pásztorbot), körevolvens;

valamint a láncgörbe, a traktrix, evolvensek.

A síkgörbét a térgörbék speciális eseteként kezeljük. A térbeli derékszögű koordináta-rendszer (X;Y) síkjában fekvő görbe leírható

(a) -- ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {g}}(t)~}$ vektor-skalár függvénnyel,

(b) -- ${\displaystyle x=x(t),~~y=y(t)~}$ paraméteres egyenletrendszerrel,

(c) -- ${\displaystyle F(x,y)=0~}$ implicit egyenlettel,

(d) -- ${\displaystyle y=f(x)~}$ explicit egyenlettel,

valamint ez utóbbi három alakban polárkoordinátákkal:

(e) -- ${\displaystyle \rho =\rho (t),~\varphi =\varphi (t)~}$

(f) -- ${\displaystyle \Pi (\rho ,\varphi )=0~}$,

(g) -- ${\displaystyle \rho =p(\varphi )~}$.

Hasonló formulák használhatók más koordináta-rendszerekben.

A görbeszakasz s ívhossza a ds ívelem integrálja a [t..t+dt] intervallumban:

${\displaystyle ds={\sqrt {{\dot {x}}^{2}(t)+{\dot {y}}^{2}(t)}}\,}$

${\displaystyle s=\int \limits _{t}^{t+dt}\mid \mathbf {\dot {r}} (t)\mid dt,}$

Az görbe adott pontjában az érintő irányú ${\displaystyle {\vec {t}}}$ vektor a vektor-skalár függvény t szerinti első deriváltja:

${\displaystyle {\vec {t}}=\mathbf {\dot {r}} (t)={\dot {x}}(t)\mathbf {i} +{\dot {y}}(t)\mathbf {j} }$

A görbe adott pontjában az érintőre merőleges ${\displaystyle {\vec {n}}}$ vektor a vektor-skalár függvény t szerinti második deriváltja:

${\displaystyle {\vec {n}}=\mathbf {\ddot {r}} (t)={\ddot {x}}(t)\mathbf {i} +{\ddot {y}}(t)\mathbf {j} }$

Az érintő irányváltozásának a pályamenti sebessége, az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja:

${\displaystyle g={\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\mid {\vec {n}}\mid }{\mid {\vec {t}}\mid ^{2}}},}$.

A görbületi sugár (a simulókör sugara) a görbület reciproka:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{g}}\,}$.

Az inflexiós pontban a görbület ${\displaystyle g=0}$, a két csatlakozó görbeíven ellentétes előjelű. Az inflexiós pontban az érintő metszi a görbét.

Olyan pont, ahol a görbületnek (lokális) maximuma/minimuma van.

Kettős (többszörös) pont, ahol a görbe önmagát metszi.

Izolált pont: a többi résztől különálló, de a leképezés kép-pontja.

Töréspont: az érintő ugrásszerűen megváltozik (${\displaystyle \neq 180^{o}}$).

Hegy: a pontban az érintő ellentétes irányúra változik.

Simulópont: ahol a görbe önmagát érinti, közös a két ív érintője.

Végpontok: a nem csatlakozó ívdaraboké és a korlátos görbéké.

Aszimptotikus pont: az egy pontra zsugorodó spirális határértéke.

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
• Courant – Robbins: Mi a matematika? Gondolat, 1966.
• Reiman István: Matematika, Műszaki Könyvkiadó, 1992.
• Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH Atlasz-Matematika, Springer-Verlag, 1993.