Számtartományok
![]() | Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. (2022 szeptemberéből) |
A számtartomány számokból álló halmaz, röviden számhalmaz. A történelem folyamán ahogy nőtt az igény az egyre bonyolultabb dolgok (számbeli) kifejezésére, úgy nőtt az igény a számhalmaz(ok) bővítésére is. Így jutottunk el a természetes számoktól a komplex számokig, és közben mindegyik új számhalmaznak a régi a részhalmaza volt.
1. Természetes számok halmaza (N): A pozitiv egész számok, amelyek 1, 2, 3, stb. [1]Ez a legalapvetőbb számhalmaz. Ha egy halmaz tartalmazza az 1, 2 számokat és minden k számhoz a rákövetkező számot, akkor tartalmazza az összes természetes számot. A számjegyeket az ún. arab számjegyekkel ábrázoljuk (például 1, 2, 16, 36156 stb.). Jelölése N. Nem minden országban tartozik azonban bele a természetes számok halmazába a nulla. A matematikusok nem értenek egyet abban, hogy a nulla természetes szám-e. A félreértések elkerülése végett mindig tisztázni kell, hogy melyik halmazról van szó: N0 beleértve, N+ nem értve bele. A matematika tanításában országonként változhat a megállapodás; például Magyarországon úgy tanítják, hogy a nulla természetes szám, míg Szlovákiában nem.
2. Nemnegatív egész számok halmaza (W): A természetes számok, beleértve a nullát is. (pl.: W={0,1,2,3,…})
3. Egész számok halmaza (Z): Az egész számok és azok negatívjai. (pl.: Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}) A negatív számokat a gyakorlatban is széles körben használjuk, elég csak az időjárásra (például „–5 °C van kint”), vagy a banki átutalásokra (például –5000 Ft azt jelenti, hogy 5000 forintot vettek le a számláról stb.) gondolni. Jele Z.
4. Racionális számok halmaza (Q): Olyan számok, amelyek két egész szám hányadosaként fejezhetők ki, ahol a nevező nem nulla. (pl.: ). Amikor már nem volt elég az egész számok halmaza se a matematikai műveletekhez (például , vagy ), akkor az egész számok halmaza újabb számokkal bővült, mégpedig azokkal, amelyeket felírhatunk tört formájában (vagyis , ahol ). Jelölése Q.
5. Irracionális számok halmaza (I): Olyan számok, amelyek nem fejezhetők ki két egész szám hányadosaként, és tizedes tört alakjuk nem záródik le és nem ismétlődik. Ide tartoznak a matematikai állandók amik olyan számszerű értékek, amelyeket matematikai összefüggésekben és formulákban használnak. Ezek közé tartozik például a kört jellemző pi (π), az exponenciális függvény alapjaként szolgáló Euler-féle szám (e), az aranymetszés aránya (φ), a kettő gyök alatt () és a természetes logaritmus alapja (ln). Ezek az állandók fontos szerepet játszanak matematikai analízisekben, fizikai törvényszerűségekben és más tudományos alkalmazásokban is.
6. Valós számok (R): Az összes racionális és irracionális szám kombinációja.
7. Komplex számok: Egy komplex szám olyan szám, amely az a+bi formában fejezhető ki, ahol a és b valós számok, és i az imaginárius egység, melyre érvényes, hogy , vagy a négyzetgyökvonás jelének értelmezését kibővítve: . Ezekkel a számokkal már megoldhatóak az jellegű egyenletek, amelynek mindkét gyöke a komplex számok halmazán és .
Az elemi matematikában az összes számhalmaz a következő részhalmaza, vagyis Amennyiben a számtartományok formális és nem-axiomatikus eszközökkel való felépítését fogadjuk el, ezen szigorú és rendszeres algebrai vagy analitikus konstrukciók során a fenti relációlánc egyik-másik vagy akár az összes eleme érvénytelenné válhat. A „felsőbb” matematikában ezen tartományok nem feltétlenül részhalmazai egymásnak, hanem egy gyengébb kapcsolat van köztük, nevezetesen, beágyazhatóak egymásba.
A Komplex Számokon Túl
Vannak más számrendszer-kiterjesztések is a komplex számokon túl, de ezek speciálisabbak és fejlettebbek, gyakran magasabb szintű matematikában találkozhatunk velük:
Kvaterniók: A kvaterniók a komplex számokat négy dimenzióra terjesztik ki.
Egy kvaternió az a+bi+cj+dk formában fejezhető ki, ahol i, j, k az alapvető kvaternió egységek.
Oktoniók: Az oktoniók a kvaterniókat nyolc dimenzióra terjesztik ki.
Bonyolultabb szorzási szerkezetük van, és nem asszociatívak.
Hiperreális Számok: A hiperrális számok a valós számokat kiterjesztik végtelen kicsi és végtelen nagy mennyiségekkel.
Nem standard analízisben használatosak.
Szürreális Számok: A szürreális számok egy sokkal nagyobb osztályt alkotnak, amely magában foglalja a valós számokat, végtelen számokat és végtelen kicsi számokat.
Játékelméletben és kombinatorikus játékelméletben alkalmazhatók.
Jegyzetek
- ↑ Jay Abramson, Arizona State University, Valeree Falduto, Palm Beach State College Rachael Gross, Towson University David Lippman, Pierce College Melonie Rasmussen, Pierce College Rick Norwood, East Tennessee State University Nicholas Belloit, Florida State College at Jacksonville Harold Whipple, Formerly of Columbia College Jean-Marie Magnier, Springfield Technical Community College Christina Fernandez: Algebra and Trigonometry 2e in OpenStax, 2021. december 21. (Hozzáférés: 2024. július 7.)
![]() | Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap