A véges térfogat módszere (angolul finite-volume method, FVM) módszer parciális differenciálegyenletek algebrai alakban való kiértékelésére és ábrázolására. Hasonló a véges differencia módszeréhez vagy végeselem módszeréhez az elemeket egy diszkrét helyen hálós térben számoljuk. A véges térfogat utal egy kis térfogatra amely minden hálópontot körülvesz. Ez a módszer könnyen használható strukturálatlan anyagok esetén.
1D példa
Vegyük a következő egyszerű 1D advekciós parciális differenciál egyenletet.
![{\displaystyle \quad (1)\qquad \qquad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2ff8ec861c83205cefa2e534b7c6cc8c867137)
Itt,
jelenti az állapotváltozót és
jelenti a fluxusát vagy áramlását a
-nak. Természetesen, a pozitív
jelenti a jobb oldali áramlást míg a negatív
jelenti a bal oldali áramlást. Ha feltételezzük, hogy az (1) egyenlet egy állandó területű áramló közeg akkor tudjuk felosztani az
térbeli területtel véges térfogatokra vagy cellákra
indexű cellaközpontokkal. Bizonyos
indexű cellák esetében meg tudjuk határozni a térfogat szerinti átlagos értékét a
-nak a
időpillanatba és az
térfogatelemen, mint
![{\displaystyle \quad (2)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def33b441be6ea9696fdb4fd9469c7fdae11ad8c)
és a
időpillanatba mint,
![{\displaystyle \quad (3)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d4467d0bc890166b9761a510809514f8498e4f)
ahol
és
jelentik az alsó és felső felületét vagy az éleit a
cellának.
Ha integráljuk az (1) egyenletet idő szerint akkor kapjuk:
![{\displaystyle \quad (4)\qquad \qquad \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab00842765e03199b60d5285068f3c6c38505f74)
ahol
.
Ahhoz, hogy megkapjuk az átlag térfogatot a
a
időpillanatban, integráljuk a
a
cellatérfogaton és osszuk az eredményt
, i.e.
![{\displaystyle \quad (5)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f8ca3e20b9b1bf2fa9eb971b014c858d318784)
Feltételezzük, hogy
jól viselkedik, és meg tudjuk cserélni az integrálás sorrendjét. Továbbá, az áramlás merőleges a sejtelemre. Most, amíg egy dimenziójú az
, tudjuk alkalmazni a divergenciatételt, azaz
és helyettesítjük a térfogati integrált az
értékeinek divergenciájával a (élek
és
) cella felületén úgyhogy a véges térfogat:
![{\displaystyle \quad (6)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b46fcd1ad0bffd7cf820ac7321957ab19e1a0fb)
ahol
.
Tehát származtathatunk egy fél diszkrét numerikus rendszert a fenti cellaközpontú problémát
-vel indexelve és a cella élének fluxusát
indexelve, differenciálva a (6) adott időben kapjuk:
![{\displaystyle \quad (7)\qquad \qquad {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1865cfc7bed5417ba22f47a5245d4db89e19f7d1)
ahol az élek fluxusa,
, rekonstruálható a cella átlagok inter- vagy extrapolációjával. A (7) egyenlet egzakt a térfogatátlagot tekintve; deriválása során nem használtunk approximációt.
Általános megmaradási tétel
Az általános megmaradási tételt a következő parciális differenciálegyenletként is tekinthetjük,
![{\displaystyle \quad (8)\qquad \qquad {{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825dd0af47ddabf8cdbdb17e5e362ba6509e5530)
Itt az
jelképezi az állapotvektor és
jelképezi a megfelelő fluxus tenzort. Megint fel tudjuk osztani a térbeli domíniumot véges térfogatelemekre vagy cellákra. Bizonyos
cellákra, elvégezhetjük a térfogat integrálást a cella teljes térfogatára,
, amiből kapjuk:
![{\displaystyle \quad (9)\qquad \qquad \int _{v_{i}}{{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556da00cad3580d2af93a12469fa2b62dca1d8b0)
Az első kifejezés integrálásával megkapjuk az átlag térfogatot és alkalmazzuk a divergencia tételét a második kifejezésre, így a hozam:
![{\displaystyle \quad (10)\qquad \qquad v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa824d544e8600a72ff0dacbda704c9e9e392bef)
ahol
jelképezi a teljes felületét a cella területnek és
egy egységvektor normálisa a felületre és kifele mutat. Tehát végül is képesek vagyunk megmutatni egy általános ekvivalens eredményt a (8),
![{\displaystyle \quad (11)\qquad \qquad {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57bc65f2b67872a0def38619b93910abd0f42185)
Ismét, az élek fluxusainak értékei rekonstruálhatók a cellák átlagának inter-, extrapolációjával. Az aktuális numerikus rendszer függ az aktuális geometriai problémától és az anyag szerkezetétől.
A véges térfogat rendszerek konzervatívak mint a cella átlagok változása az élek fluxusán keresztül. Más szavakkal, hogy egy cella eltűnik mások megnőnek.
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Finite volume method című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Források
- Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
- LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
- Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
- The finite volume method by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
- The Finite Volume Method (FVM) – An introduction by Oliver Rübenkönig of Albert Ludwigs University of Freiburg, available under the GFDL. archív
- FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python from NIST.
- CLAWPACK: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach
Matematikai portál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap