Valószínűségi tömegfüggvény
A valószínűségszámítás elméletében és a statisztikában a valószínűség tömegfüggvény annak a valószínűségét adja meg, hogy valamely diszkrét valószínűségi változó egy pontosan határozott értéket vesz fel.[1] A valószínűség tömegfüggvény gyakran a diszkrét valószínűség-eloszlás meghatározásának az elsődleges módszere. Segítségével az eloszláshoz egyértelműen hozzárendelhető egy eloszlásfüggvény. Megfordítva, egy diszkrét eloszláshoz tartozó eloszlásfüggvény is egyértelműen meghatározza a valószínűségi függvényt.
Többnyire olyan eloszlásokat vizsgálnak, amelyek természetes számokat vesznek fel értékként. A függvény minden természetes számhoz hozzárendeli annak valószínűségét. Például egy szabályos dobókockával való dobáshoz egytől hatig az egészekhez-ot, ezen kívül nullát rendel.
A valószínűség tömegfüggvény abban különbözik a sűrűségfüggvénytől, hogy ez utóbbi inkább folytonos eloszlások jellemzője, mint a diszkrét eloszlásoké. Mértékelméleti szempontból sűrűségfüggvény a számossági mérték szerint. Általánosabb összefüggésben súlyfüggvénynek is nevezik.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Discrete_probability_distrib.svg/300px-Discrete_probability_distrib.svg.png)
Formális meghatározás
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Fair_dice_probability_distribution.svg/300px-Fair_dice_probability_distribution.svg.png)
Az ábrán egy dobókocka valószínűség tömegfüggvénye látható. Minden számnak egyenlő esélye van, és határozott értéke van.
Tegyük fel, hogy X: S → A (A R) egy diszkrét valószínűségi változó, mely az S mintatérben van. Ekkor a valószínűség tömegfüggvény fX: A → [0, 1] ahol X:[2][3]
A valós számokra kiterjesztve a definíció
Jegyezzük meg: fX valós szám, fX(x) = 0 minden x X(S)-re. Lényegében hasonló meghatározás érvényes a diszkrét valószínűségi vektorokra is: X: S → An, ahol a skalár értékeket vektorra cseréljük. A teljes valószínűség minden X-re 1-gyel egyenlő.
Mivel a X ábrázolása megszámlálható mennyiség, a valószínűség tömegfüggvény fX(x) mindenhol zéró, kivéve az x megszámlálható értékeire. A valószínűség tömegfüggvény diszkontinuitása azért van, mert egy diszkrét valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvénye is diszkontinuit, azaz nem folytonos. Ahol differenciálható, a deriváltja zéró, pont úgy, ahogy a valószínűség tömegfüggvény is zéró minden ilyen ponton.
Valószínűségeloszlás konstrukciója
Adva legyen az függvény, amit jellemeznek a következők:
- minden esetén. Tehát minden természetes számhoz hozzárendel egy nulla és egy közötti valós számot.
- normált abban az értelemben, hogy értékeinek összege egy. Azaz
- .
Ekkor valószínűségi tömegfüggvény, és definíciója
- minden esetén egy egyértelmű valószínűségeloszlás, ellátva a eseményalgebrával.
Valószínűségeloszlásból származtatva
Adva legyen egy valószínűségeloszlás az természetes számokon, ellátva a eseményalgebrával. Legyenek továbbá értékei az halmazból! Ekkor az függvény, aminek definíciója
a valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan, az függvény az
definícióval az valószínűségi tömegfüggvénye.
Példák
Tegyük fel, hogy egy érem minden dobásnál egy S térben van, és X a valószínűségi változó, mely 0, ha ’írás’, és 1, ha ’fej’. Mivel az érem szabályos, a valószínűség tömegfüggvény:
Ez a binomiális eloszlás egy speciális esete.
A binomiális eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye
ahol és az eloszlás paraméterei ( természetes, valós szám). A normáltság következik a binomiális tételből, hiszen
- .
A geometriai eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye
- ha
egy rögzített paraméterrel. A normáltság a geometriai sorból következik, mivel
- .
Általánosabb valószínűségi tömegfüggvény
A definíció kiterjeszthető általánosabb diszkrét eloszlásokra is, ahol az értékek nem feltétlenül természetes számok, de legfeljebb megszámlálhatóan végtelen van belőlük. Legyen egy ilyen halmaz, és legyen függvény úgy, hogy
- ,
ekkor alapján definiálható egy eloszlás:
- minden valós számra.
Ez az eloszlás egyértelmű az eseményalgebrán.[4]
Megfordítva, ha valószínűségeloszlás az eseményalgebrán, és egy valószínűségi változó, amely értékeit az halmazból veszi fel, akkor az függvény, amelynek definíciója
- ,
a valószínűségeloszlás általánosított valószínűségi tömegfüggvénye. Továbbá az valószínűségi változó valószínűségi tömegfüggvénye egy függvény:
- [5]
Alternatív definíció
Egyes szerzők először definiálják a valós sorozatokat azzal, hogy minden esetén és . Elnevezik ezeket a sorozatokat valószínűségi vektoroknak[6] vagy sztochasztikus soroknak, vektoroknak.[7][8]
Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény egy függvény, melynek definíciója
- minden esetén. Megfordítva, minden n értelmezett valószínűségeloszláshoz vagy valószínűségi változóhoz tartozik egy fölötti valószínűségi vektor, illetve valószínűségi vektor.
Vannak továbbá szerzők, akik magát a valószínűségi vektort nevezik valószínűségi tömegfüggvénynek.[9]
További példák
Tipikus példa a diszkrét egyenletes eloszlás egy véges halmazon. Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény
- minden esetén.
Véletlen sorozatok segítségével is konstruálható a valószínűségi tömegfüggvény: Legyen pozitív valós számok legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sorozata, az indexhalmazzal, azzal együtt, hogy
- .
Ekkor
- .
Ezzel sztochasztikus sorozat, ami valószínűségi tömegfüggvényt definiált. Ha például az
- ha ,
sorozatot tekintjük, akkor
- a normálási konstans.
Tehát a valószínűségi tömegfüggvény
- , ami a Poisson-eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye.
Valószínűségi változók mérőszámai
A valószínűségi változók és valószínűségeloszlások fontos mérőszámai meghatározhatók a valószínűségi tömegfüggvény alapján.
Várható érték
Ha valószínűségi változó -beli értékekkel, és valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor várható értéke
- .
Ez mindig létezik, de lehet végtelen is.
A várható érték általános esetben hasonlóan számítható, de nem biztos, hogy létezik. Legyen legfeljebb megszámlálható végtelen halmaz, és vegyen fel az valószínűségi változó -beli értékeket, továbbá legyen valószínűségi tömegfüggvénye , ekkor a várható érték, ha létezik, akkor
- .
Szórás
A szórásnégyzet, szórás is kiszámítható. Legyen valószínűségi változó -beli értékekkel, és valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor szórásnégyzete
- ,
ahol a várható érték.
Az eltolási tételt felhasználva
Hasonlóan, ha az értékek -ból valók:
feltéve, ha a szórás létezik.
Módusz
A diszkrét valószínűségi változó módusza a valószínűségi tömegfüggvény alapján értelmezhető: Ha az valószínűségi változó -ből vesz fel értékeket, és valószínűségi tömegfüggvénye , akkor módusza .
A módusz hasonlóan értelmezhető, ha a valószínűségi változó helyett valószínűségeloszlásból indulunk ki. A módusz szintén
- .
Általában, ha legfeljebb megszámlálható végtelen, és rendezhető az sorozatba úgy, hogy , akkor módusz, hogyha
- [10]
Tulajdonságok
Eloszlásfüggvények
Ha valószínűségi tömegfüggvény -en, akkor az eloszlásfüggvény a megfelelő valószínűségi mérték szerint
ahol az egészrészfüggvény, azaz a legnagyobb egész szám, ami nem nagyobb -nél (kisebb, vagy egyenlő vele).
Ha a legfeljebb megszámlálható végtelen halmazon van értelmezve, akkor a valószínűségi mérték eloszlásfüggvénye
- .
Például lehet , vagy .
Valószínűségi változók összege és konvolúciója
A diszkrét valószínűségi változók esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a valószínűségi tömegfüggvények konvolúciójára. Legyenek valószínűségeloszlások, és valószínűségi tömegfüggvényeik rendre és , ekkor
- ,
ahol a és , az és konvolúciója. Tehát a valószínűségeloszlások konvolúciójának valószínűségi tömegfüggvénye ugyanaz, mint valószínűségi tömegfüggvényeik konvolúciója.
Ez a tulajdonság egyszerűen átvihető független valószínűségi változókra. Ha független valószínűségi változók rendre az és valószínűségi tömegfüggvényekkel, akkor
- .
Tehát az összeg valószínűségi tömegfüggvénye a valószínűségi változók valószínűségi tömegfüggvényének konvolúciója.
Valószínűséggeneráló függvény
-en minden valószínűségeloszláshoz hozzárendelhető valószínűséggeneráló függvény. Ez polinom vagy hatványsor, melynek együtthatói rendre éppen a valószínűségi tömegfüggvény értékei. Így a definíció
- ,
ahol egy valószínűségeloszlás valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan definiálható valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye is.
A valószínűséggeneráló függvények megkönnyítik a valószínűségeloszlások vizsgálatát és a velük való számolást. Így például konvolúció helyett elég szorozni, majd a valószínűséggeneráló függvényből visszakövetkeztetni. Az eloszlás fontos adataira (mint várható érték, szórás) is lehet a valószínűséggeneráló függvényből következtetni.
Jegyzetek
- ↑ Stewart, William J.. Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. Princeton University Press, 105. o. (2011). ISBN 978-1-4008-3281-1
- ↑ Kumar, Dinesh. Reliability & Six Sigma. Birkhäuser, 22. o. (2006). ISBN 978-0-387-30255-3
- ↑ Rao, S.S.. Engineering optimization: theory and practice. John Wiley & Sons, 717. o. (1996). ISBN 978-0-471-55034-1
- ↑ Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 196.
- ↑ Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 4.
- ↑ Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 13.
- ↑ Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 63.
- ↑ Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 234.
- ↑ Georgii: Stochastik. 2009, S. 18.
- ↑ A.V. Prokhorov.szerk.: Michiel Hazewinkel: az Encyclopaedia of Mathematics Mode cikke. Berlin: Springer-Verlag (2002). ISBN 1-4020-0609-8
Irodalom
- Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A: Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). (hely nélkül): Wiley. 1993. ISBN 0-471-54897-9
- Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7
- Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6
- David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6
- Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-21025-9
- Claudia Czado, Thorsten Schmidt. Mathematische Statistik. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-17260-1
- Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.