![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/19px-Disambig.svg.png) | Ez a szócikk a vektorpotenciál matematikai fogalmáról szól. Hasonló címmel lásd még: Vektorpotenciál (egyértelműsítő lap). |
A vektorpotenciál a vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Induljunk ki egy vektormezőből (B). A vektorpotenciál (A) az a vektormező, amelynek az adott vektormező a rotációja:
![{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\operatorname {rot} \ \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77818e120d53b74d8ae0fe7ac4616edfd70f75bc)
Ha a vektormező differenciálható, akkor és csak akkor létezik vektorpotenciálja, ha forrásmentes, vagyis örvénymező. Mivel mágneses monopólusok nincsenek, ezért a mágneses mező forrásmentes.
A mágneses mező örvényes volta következtében áramok jelenlétében nem jellemezhető skalárpotenciállal. Az elektromágneses tér számításánál a mágneses vektorpotenciál bevezetése nyújtja a megoldást. Ugyanis az Aharonov-Bohm-hatás nem magyarázható csupán a
áramsűrűséggel.
A vektorpotenciál felhasználásával egyszerűbbé válnak a Maxwell-egyenletek, ezzel láthatóvá válik, hogy a
helyfüggő áramsűrűséggel vett konvolúció vektorpotenciálja számítható adott áramsűrűség vektorpotenciáljaként is, és innen számítható a mágneses indukció és az áramsűrűség is.
Definíció
A
forrásmentes vektormező vektorpotenciálja az az
vektormező, amelyre
![{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46eb26e70ab42445c30a50fd137f507c1b8db6dd)
ahol is
a rotáció. A forrásmentességnek azért kell teljesülnie, mert
![{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =\operatorname {divrot} \mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314fa9f4ef47d67f9803506ce85b8e5ff1b3a3e1)
minden kétszer differenciálható vektormezőre.
Az elektrodinamikában az
elektromos mezőre
![{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ,t)-\partial _{t}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b2f6fb0da43696d16f70838d14e6a4c66e8495)
ahol
skalárpotenciál.
Kiegészítve a Lorenz-mértékkel levezethetők a Maxwell-egyenletek. A magnetosztatikában a Coulomb-mértéket használják, ami az előbbi statikus határesete.
A kvantumelektrodinamikában és a relativitáselméletben a skalár- és vektorpotenciált a négyespotenciálban foglalják össze:
![{\displaystyle A^{\mu }=\left(\Phi /c,\mathbf {A} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b6066ad21af71af319bab4aed8f9199bce47cf)
Tulajdonságok
(1) A vektorpotenciál csak egy gradiensmező erejéig meghatározott a gradiensmező örvénymentessége miatt. Tehát minden
skalármezőre
![{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)'=\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+\nabla \chi (\mathbf {r} ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55589b5630ac433d42874050c210998a96e5124)
![{\displaystyle \Rightarrow \;\;\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)'=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)'=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39b81b4a9def3031de611b5cefbf60399e00560)
- A különböző mértékkel ellátott vektorpotenciálok is ugyanazt a mágneses mezőt adják. Ez a mágneses mező mértékinvarianciája.
(2) A vektorpotenciál nem konzervatív. Ha mégis, akkor az
skalármező gradiense lenne, így:
![{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \nabla \alpha \equiv 0\,\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de6f8e7d52a19488d06267f9f7fd1c68eccdfa7)
(3) A magnetosztatikában a Coulomb-mérték szerinti vektorpotenciál forrásmentessé tehető:
.
(4) Ezzel szemben az elektrodinamikában nem statikus viselkedés esetén azonban többnyire a Lorenz-mértékre van szükség. Ekkor ugyanis az elektromágneses hullámmező számításához fontossá válik a következő kapcsolat:
Ahol
skalárpotenciál, és
a vákuumbeli fénysebesség.
(5) A magnetosztatikában a vektorpotenciál teljesíti a Poisson-egyenletet, amire (a vákuum
permittivitásával és a vákuum
permeabilitásával):
.
- Innen a vektorpotenciál kifejezése konvolúció felhasználásával: (lásd Green-függvény):
![{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac30e7fb1bf57a3ebb83b47ada601e64c97f50a)
A
és a
kifejezéseket
és
is jelölheti.
(6) Az elektrodinamikában a Poisson-egyenlet kiterjeszthető a vektorpotenciálra felírt (inhomogén) hullámegyenletté:
,
- ahol
a d'Alembert-operátor.
Az egyenlet (inhomogén) megoldása a késleltetett vektorpotenciál:
, mit
.
A homogén megoldást a kezdeti feltételek teszik egyértelművé.
(7)A vektorpotenciál
,
és
komponensei és a
skalárpotenciál az elektrodinamikában négyesvektorrá foghatók össze, amit a Lorentz-transzformációk Albert Einstein speciális relativitáselméletében a (x, y, z ,ct) négyessé transzformálnak. Itt c a vákuumbeli fénysebesség.
Kapcsolat a skalárpotenciállal
A Helmholtz-tétel miatt (majdnem) minden
vektormező előáll az
és a
vektormezők szuperpozíciójaként.
egy
skalármező gradiense,
egy
vektormező rotációja:
![{\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987ea6ec00c50cf5ad4fba3553df47475c42a783)
Ha
konzervatív erőtér, ahol az
erő a legkisebb kényszer elve szerint mindig a
potenciál legnagyobb meredeksége felé irányul, akkor az egyenlet a következő alakra hozható:
![{\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba99523bf7daaafcf39bab5b1e7282e53a3effdb)
Irodalom
- Dr. Fodor György: Elektromágneses terek, Műegyetemi Kiadó, 1993.
- Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5