Vektorpotenciál (matematika)

Ez a szócikk a vektorpotenciál matematikai fogalmáról szól. Hasonló címmel lásd még: Vektorpotenciál (egyértelműsítő lap).

A vektorpotenciál a vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Induljunk ki egy vektormezőből (B). A vektorpotenciál (A) az a vektormező, amelynek az adott vektormező a rotációja:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\operatorname {rot} \ \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

Ha a vektormező differenciálható, akkor és csak akkor létezik vektorpotenciálja, ha forrásmentes, vagyis örvénymező. Mivel mágneses monopólusok nincsenek, ezért a mágneses mező forrásmentes.

A mágneses mező örvényes volta következtében áramok jelenlétében nem jellemezhető skalárpotenciállal. Az elektromágneses tér számításánál a mágneses vektorpotenciál bevezetése nyújtja a megoldást. Ugyanis az Aharonov-Bohm-hatás nem magyarázható csupán a ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )}$ áramsűrűséggel.

A vektorpotenciál felhasználásával egyszerűbbé válnak a Maxwell-egyenletek, ezzel láthatóvá válik, hogy a ${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )}$ helyfüggő áramsűrűséggel vett konvolúció vektorpotenciálja számítható adott áramsűrűség vektorpotenciáljaként is, és innen számítható a mágneses indukció és az áramsűrűség is.

A ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )}$ forrásmentes vektormező vektorpotenciálja az az ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ vektormező, amelyre

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

ahol is ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ a rotáció. A forrásmentességnek azért kell teljesülnie, mert

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =\operatorname {divrot} \mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

minden kétszer differenciálható vektormezőre.

Az elektrodinamikában az ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$ elektromos mezőre

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ,t)-\partial _{t}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$

ahol ${\displaystyle \Phi }$ skalárpotenciál.

Kiegészítve a Lorenz-mértékkel levezethetők a Maxwell-egyenletek. A magnetosztatikában a Coulomb-mértéket használják, ami az előbbi statikus határesete.

A kvantumelektrodinamikában és a relativitáselméletben a skalár- és vektorpotenciált a négyespotenciálban foglalják össze:

${\displaystyle A^{\mu }=\left(\Phi /c,\mathbf {A} \right)}$

(1) A vektorpotenciál csak egy gradiensmező erejéig meghatározott a gradiensmező örvénymentessége miatt. Tehát minden ${\displaystyle \chi (\mathbf {r} ,t)}$ skalármezőre

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)'=\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+\nabla \chi (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \Rightarrow \;\;\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)'=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)'=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\,.}$

A különböző mértékkel ellátott vektorpotenciálok is ugyanazt a mágneses mezőt adják. Ez a mágneses mező mértékinvarianciája.

(2) A vektorpotenciál nem konzervatív. Ha mégis, akkor az ${\displaystyle \alpha }$ skalármező gradiense lenne, így:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \nabla \alpha \equiv 0\,\,.}$

(3) A magnetosztatikában a Coulomb-mérték szerinti vektorpotenciál forrásmentessé tehető:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )=0}$.

(4) Ezzel szemben az elektrodinamikában nem statikus viselkedés esetén azonban többnyire a Lorenz-mértékre van szükség. Ekkor ugyanis az elektromágneses hullámmező számításához fontossá válik a következő kapcsolat:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+{\frac {1}{\ c^{2}}}\partial _{t}\Phi (\mathbf {r} ,t)=0\,.}$ Ahol ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,t)}$ skalárpotenciál, és ${\displaystyle c}$ a vákuumbeli fénysebesség.

(5) A magnetosztatikában a vektorpotenciál teljesíti a Poisson-egyenletet, amire (a vákuum ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ permittivitásával és a vákuum ${\displaystyle \mu _{0}}$ permeabilitásával):

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {j} \equiv -\mu _{0}\mathbf {j} }$.

Innen a vektorpotenciál kifejezése konvolúció felhasználásával: (lásd Green-függvény):

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,.}$

A ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$ és a ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$ kifejezéseket ${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$ és ${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$ is jelölheti.

(6) Az elektrodinamikában a Poisson-egyenlet kiterjeszthető a vektorpotenciálra felírt (inhomogén) hullámegyenletté:

${\displaystyle \Box \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {j} }$,

ahol ${\displaystyle \Box }$ a d'Alembert-operátor.

Az egyenlet (inhomogén) megoldása a késleltetett vektorpotenciál:

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ',t')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'}$, mit ${\displaystyle t'=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$.

A homogén megoldást a kezdeti feltételek teszik egyértelművé.

(7)A vektorpotenciál ${\displaystyle A_{x}}$, ${\displaystyle A_{y}}$ és ${\displaystyle A_{z}}$ komponensei és a ${\displaystyle \Phi /c}$ skalárpotenciál az elektrodinamikában négyesvektorrá foghatók össze, amit a Lorentz-transzformációk Albert Einstein speciális relativitáselméletében a (x, y, z ,ct) négyessé transzformálnak. Itt c a vákuumbeli fénysebesség.

A Helmholtz-tétel miatt (majdnem) minden ${\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})}$ vektormező előáll az ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}$ és a ${\displaystyle {\vec {G}}({\vec {r}})}$ vektormezők szuperpozíciójaként. ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}$ egy ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}$ skalármező gradiense, ${\displaystyle {\vec {G}}({\vec {r}})}$ egy ${\displaystyle {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}$ vektormező rotációja:

${\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}$

Ha ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})\,}$ konzervatív erőtér, ahol az ${\displaystyle {\vec {F}}\,}$ erő a legkisebb kényszer elve szerint mindig a ${\displaystyle \Phi \ }$ potenciál legnagyobb meredeksége felé irányul, akkor az egyenlet a következő alakra hozható:

${\displaystyle {\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).}$

• Dr. Fodor György: Elektromágneses terek, Műegyetemi Kiadó, 1993.
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5