Daftar transformasi koordinat

Daftar transformasi koordinat berikut memuat transformasi sistem-sistem koordinat yang paling umum digunakan.

Diketahui (x, y) pada sistem koordinat Kartesius baku, serta r dan θ pada sistem koordinat polar baku.

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \quad }$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta ^{\prime }=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|}$

Catatan: penghitungan ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ menghasilkan sudut resultan pada kuadran pertama (${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$). Untuk menghitung ${\displaystyle \theta }$, harus dirujuk pada koordinat Kartesius semua, tentukan kuadran di mana ${\displaystyle \theta }$ terletak (misalnya (3,-3) [Kartesius] terletak pada kuadran 4 atau "QIV"), maka gunakan persamaan berikut untuk menghitung ${\displaystyle \theta }$:

Untuk ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ in QI:

${\displaystyle \theta =\theta ^{\prime }}$

Untuk ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ in QII:

${\displaystyle \theta =\pi -\theta ^{\prime }}$

Untuk ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ in QIII:

${\displaystyle \theta =\pi +\theta ^{\prime }}$

Untuk ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ in QIV:

${\displaystyle \theta =2\pi -\theta ^{\prime }}$

Nilai ${\displaystyle \theta }$ harus dihitung dengan cara ini karena semua nilai ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \tan \theta }$ hanya didefinisikan untuk ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}}$, dan bersifat periodik (dengan periode ${\displaystyle \pi }$). Artinya fungsi invers hanya menghasilkan nilai dalam domain fungsi itu, tetapi terbatas pada satu periode saja. Jadi, rentang fungsi invers hanyalah setengah lingkaran.

Perhatikan bahwa dapat pula digunakan

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta ^{\prime }=2\arctan {\frac {y}{x+r}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\y=e^{\rho }\sin \theta .\end{cases}}}$

Dengan menggunakan bilangan kompleks ${\displaystyle (x,y)=x+iy'}$, transformasi dapat ditulis sebagai

${\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta }\,}$

yaitu diberikan oleh fungsi eksponensial kompleks.

${\displaystyle {\begin{cases}\rho =\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\theta =\arctan {\frac {y}{x}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}}$

${\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}}$^[1]

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]}$

di mana 2c adalah jarak antara kutub-kutub.

${\displaystyle x=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}$

${\displaystyle y=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{\phi }{\sqrt {1+y'^{2}}}\,d\phi }$

Diketahui (x, y, z) pada sistem koordinat Kartesius baku, dan (ρ, θ, φ) pada koordinat spherical, dengan sudut θ diukur dari aksis +Z axis. Sebagaimana φ mempunyai rentang 360° pertimbangan yang sama dengan koordinat polar (2 dimensi) diterapkan bilamana diambil suatu arctangen. θ mempunyai rentang 180°, dari 0° ke 180°, dan tidak bermasalah jika dihitung dari suatu arckosinus, tetapi perhatikan untuk suatu arctangen. Jika, dalam definisi alternatif, θ dipilih untuk rentang dari −90° ke +90°, dengan arah yang berlawanan dibandingkan definisi sebelumnya, maka dapat dihitung secara unik dari suatu arcsinus, tetapi hati-hati dengan arckotangen. Dalam kasus ini semua rumus berikut semua argumen θ harus ditukar sinus dan kosinus-nya, dan sebagai turunan juga harus ditukar tanda plus dan minusnya.

Semua pembagian oleh nol menghasilkan kasus-kasus khusus dengan arah di sepanjang aksis-aksis utama dan dalam praktik dapat dipecahkan dengan mudah melalui observasi.

${\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \phi \quad }$

${\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \phi \quad }$

${\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta \quad }$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\rho \cos \theta \cos \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}}$

sehingga untuk volume elemen:

${\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}d\rho \;d\theta \;d\phi =\rho ^{2}\sin \theta \;d\rho \;d\theta \;d\phi \;}$

${\displaystyle {x}={r}\,\cos \theta }$

${\displaystyle {y}={r}\,\sin \theta }$

${\displaystyle {z}={h}\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

sehingga untuk volume elemen:

${\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}dr\;d\theta \;dh={r}\;dr\;d\theta \;dh\;}$

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle {\theta }=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\rho ^{2}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}}$

sehingga untuk volume elemen:

${\displaystyle d\rho \ d\theta \ d\phi =\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}}dx\ dy\ dz={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}dx\ dy\ dz}$

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle {\phi }=\phi \quad }$

${\displaystyle {\theta }=\arctan {\frac {r}{h}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\phi ,h)}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\\{\frac {-r}{r^{2}+h^{2}}}&0&{\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\phi ,h)}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\\\arcsin({\frac {y}{r}})&{\mbox{if }}x\geq 0\\-\arcsin({\frac {y}{r}})+\pi &{\mbox{if }}x<0\\\end{cases}}}$

${\displaystyle h=z\quad }$

Note that many computer systems may offer a more concise function for computing ${\displaystyle \theta }$, such as atan2(y,x) in the C language.

${\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle r=\rho \sin \phi \,}$

${\displaystyle \theta =\theta \,}$

${\displaystyle h=\rho \cos \phi \,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \phi &0&\rho \cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}=-\rho }$

${\displaystyle s=\int _{0}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,dt}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}$

${\displaystyle \tau ={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}}$