Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil
Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan [1]. Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil[2].
Sebaliknya, suatu fungsi dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan [1]. Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar[2].
Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai
dan .[1]
Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (bahasa Inggris: integer part), di mana bilangan riil yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan atau terkadang dinotasikan sebagai [3] dan dirumuskan sebagai[3][4]
.
Untuk memahami lebih lanjut, tinjau yang bernilai , maka . Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, .
Sejarah
Fungsi atap dan lantai dikenal masuk dalam bagian bilangan bulat.[5] Namun, bagian bilangan bulat juga digunakan untuk pemotongan bilangan bulat mendekati 0 pada bilangan bulat negatif, yang berbeda dengan fungsi lantai di bilangan negatif.
Bagian bilangan bulat didefinisikan oleh Adrien-Marie Legendre pada tahun 1798. Selanjutnya, Carl Friedrich Gauss memperkenalkan penggunaan notasi tanda kurung kotak[5] untuk menuliskan fungsi bilangan bulat terbesar. Namun, tidak ada notasi standar untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil.[6] Beberapa penulis bahkan menggunakan notasi untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil, yang tidak menjadi standar.[6]
Pada tahun 1962, Kenneth Eugene Iverson memperkenalkan fungsi atap dan lantai dalam bukunya, A Programming Language.[7] Penggunaan notasi ini dipopulerkan oleh Donald Ervin Knuth[8] yang sekarang menjadi standar penggunaan dalam berbagai artikel teknis tanpa perlu penjelasan fungsi tersebut.[6]
Sifat dan identitas
Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:[9]
- untuk suatu bilangan real.
- dan jika dan hanya jika adalah bilangan bulat.
- jika adalah bilangan real dan bila bilangan bulat.
- Untuk suatu bilangan bulat, .
Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain
Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:[10][11][12]
- untuk adalah bilangan bulat.
Kalkulus
Turunan
Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila adalah bilangan bulat. Bila bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana[13], yakni bernilai 0.
Integral
Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai
- .[14]
Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,
- .[15]
Representasi deret
Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:
- Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan
asalkan bilangan real dan bukan bilangan bulat.[16]
Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.
- Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan
asalkan bilangan real dan bukan bilangan bulat.[17]
Rujukan
- ^ a b c Sukardi, mathcyber1997.com: Materi, Soal, dan Pembahasan - Fungsi Lantai dan Fungsi Atap. Diakses pada 5 Agustus 2023.
- ^ a b Gatot Muhsetyo (2019). Matematika Diskrit. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 9786023924127. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-02. Diakses tanggal 2023-05-22. Parameter
|url-status=
yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) - ^ a b Weisstein, Eric W. "Integer Part". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-06-23. Diakses tanggal 2021-11-17.
- ^ "integer part". planetmath.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-05-06. Diakses tanggal 2021-11-16.
- ^ a b "Floor and ceiling functions explained". everything.explained.today. Diakses tanggal 2024-06-17.
- ^ a b c Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994-02-28). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (dalam bahasa Inggris). Addison-Wesley Professional. hlm. 65. ISBN 978-0-13-438998-1. Parameter
|url-status=
yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) - ^ Iverson, Kenneth E. (1962). A Programming Language (dalam bahasa Inggris). Wiley. hlm. 12. ISBN 978-0-471-43014-8. Parameter
|url-status=
yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) - ^ "1.4: The Floor and Ceiling of a Real Number". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2021-08-14. Diakses tanggal 2024-06-17.
- ^ "Properties of Floors and Ceilings". www.bookofproofs.org. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-16. Diakses tanggal 2021-11-16.
- ^ Luke Heaton, A Brief History of Mathematical Thought, 2015, ISBN 1472117158 (n.p.)
- ^ Albert A. Blank et al., Calculus: Differential Calculus, 1968, hlm. 259
- ^ John W. Warris, Horst Stocker, Handbook of mathematics and computational science, 1998, ISBN 0387947469, hlm. 151
- ^ "Differentiable". www.mathsisfun.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-03-09. Diakses tanggal 2021-11-24.
- ^ "Floor function: Integration (subsection 21/01/01)". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-09-13. Diakses tanggal 2021-11-24.
- ^ "Ceiling function: Integration (subsection 21/01/01)". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-24. Diakses tanggal 2021-11-24.
- ^ "Floor function: Series representations (subsection 06/01)". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-26. Diakses tanggal 2021-11-26.
- ^ "Ceiling function: Series representations". functions.wolfram.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-11-24. Diakses tanggal 2021-11-26.
- l
- b
- s
- Fungsi konstan (0)
- Fungsi linear (1)
- Fungsi kuadrat (2)
- Fungsi kubik (3)
- Fungsi kuartik (4)
- Fungsi kuintik (5)
teori bilangan
- Fungsi Möbius
- Fungsi partisi
- Fungsi perhitungan bilangan prima
- Fungsi phi Euler
- Fungsi sigma
huruf Yunani
- Fungsi beta
- Dirichlet
- taklengkap
- Fungsi chi
- Legendre
- Fungsi delta
- Fungsi delta Dirac
- Fungsi delta Kronecker
- potensial delta
- Fungsi eta
- Dirichlet
- Fungsi gamma
- Fungsi digamma
- Barnes
- Meijer
- banyak
- eliptik
- Hadamard
- multivariabel
- p-adik
- q
- taklengkap
- Fungsi poligamma
- Fungsi trigamma
- Fungsi lambda
- Dirchlet
- modular
- von Mangoldt
- Fungsi mu
- Möbius
- Fungsi phi
- Fungsi pi
- Fungsi sigma
- Weierstrass
- Fungsi theta
- Fungsi zeta
- Hurwitz
- Riemann
- Weierstrass
nama matematikawan
- Airy
- Ackermann
- Bessel
- Bessel–Clifford
- Bottcher
- Chebyshev
- Clausen
- Dawson
- Dirichlet
- beta
- eta
- L
- lambda
- Faddeeva
- Fermi–Dirac
- lengkap
- taklengkap
- Fresnel
- Fox
- Gudermann
- Hermite
- Fungsi Jacob
- eliptik Jacobi
- Kelvin
- Fungsi Kummer
- Fungsi Lambert
- Lamé
- Laguerre
- Legendre
- chi
- iring
- Liouville
- Mathieu
- Meijer
- Mittag-Leffler
- Painlevé
- Riemann
- xi
- zeta
- Riesz
- Scorer
- Spence
- von Mangoldt
- Weierstrass
- eliptik
- eta
- sigma
- zeta
- Fungsi bagian bilangan bulat
- Fungsi gergaji
- Fungsi indikator
- Fungsi nilai mutlak
- Fungsi persegi
- Fungsi segitiga
- Fungsi tanda
- Fungsi tangga
- Aritmetik-geometrik
- eliptik
- Fungsi hiperbolik
- konfluen
- K
- sinkrotron
- tabung parabolik
- tanda tanya Minkowski
- Pentasi
- Student
- Tetrasi