Grup polihedral
Simetri involusi Cs, (*) [ ] = | Simetri siklik Cnv, (*nn) [n] = | Simetri dihedral Dnh, (*n22) [n,2] = | |
Grup polihedral, [n,3], (*n32) | |||
---|---|---|---|
Simetri tetrahedral Td, (*332) [3,3] = | Simetri oktahedral Oh, (*432) [4,3] = | Simetri ikosahedral Ih, (*532) [5,3] = |
Dalam geometri, grup polihedral adalah salah satu dari grup simetri dari padatan Platonis.
Grup
Ada tiga grup polihedral:
- Grup tetrahedral urutan 12, grup simetri rotasi dari tetrahedron beraturan. Ini isomorfik untuk A4.
- Kelas konjugasi dari T adalah:
- identitas
- 4 × rotasi sebesar 120°, urutan 3, cw
- 4 × rotasi sebesar 120°, urutan 3, ccw
- 3 × rotasi 180°, urutan 2
- Kelas konjugasi dari T adalah:
- Grup oktahedral urutan 24, grup simetri rotasi kubus dan oktahedron beraturan. Ini isomorfik untuk S4.
- Kelas konjugasi dari O adalah:
- identitas
- 6 × rotasi sebesar ±90° di sekitar simpul, urutan 4
- 8 × rotasi ±120° di sekitar pusat segitiga, urutan 3
- 3 × rotasi 180° di sekitar simpul, urutan 2
- 6 × rotasi 180° di sekitar titik tengah tepi, urutan 2
- Kelas konjugasi dari O adalah:
- Grup ikosahedral urutan 60, grup simetri rotasi dari dodecahedron beraturan dan ikosahedron beraturan. Ini isomorfik untuk A5.
- Kelas konjugasi dari I adalah:
- identitas
- 12 × rotasi sebesar ±72°, urutan 5
- 12 × rotasi sebesar ±144°, urutan 5
- 20 × rotasi sebesar ±120°, urutan 3
- 15 × rotasi 180°, urutan 2
- Kelas konjugasi dari I adalah:
Simetri lipatan menjadi 24, 48, 120 untuk grup refleksi penuh. Simetri pantulan memiliki 6, 9, dan 15 cermin. Simetri oktahedral, [4,3] dilihat sebagai gabungan dari 6 simetri tetrahedral [3,3] cermin, dan 3 cermin simetri dihedral Dih2, [2,2 ]. Simetri piritohedral adalah penggandaan lain dari simetri tetrahedral.
Kelas konjugasi simetri tetrahedral penuh, Td≅S4, adalah:
- identitas
- 8 × rotasi sebesar 120°
- 3 × rotasi 180°
- 6 × refleksi dalam bidang melalui dua sumbu rotasi
- 6 × rotorefleksi sebesar 90°
Kelas konjugasi simetri piritohedral, Th, termasuk kelas T, dengan dua kelas 4 digabungkan, dan dengan inversi:
- identitas
- 8 × rotasi 120°
- 3 × rotasi 180°
- inversi
- 8 × rotorefleksi sebesar 60°
- 3 × refleksi dalam bidang
Kelas konjugasi dari grup oktahedral penuh, Oh≅S4 × C2, adalah:
- inversion
- 6 × rotorefleksi sebesar 90°
- 8 × rotorefleksi sebesar 60°
- 3 × refleksi pada bidang tegak lurus terhadap sumbu lipatan-4
- 6 × refleksi pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu lipatan-2
Kelas konjugasi simetri ikosahedral penuh, Ih≅A5 × C2, sertakan juga dengan inversi:
- inversi
- 12 × rotorefleksi sebesar 108°, urutan 10
- 12 × rotorefleksi sebesar 36°, urutan 10
- 20 × rotorefleksi sebesar 60 °, urutan 6
- 15 × refleksi, urutan 2
Grup polihedral kiral
Nama (Orb.) | Notasi Coxeter | Urutan | Struktur abstrak | Rotasi Titik #valensi | Diagram | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Orthogonal | Stereografis | |||||||
T (332) | [3,3]+ | 12 | A4 | 43 32 | ||||
Th (3*2) | [4,3+] | 24 | A4×2 | 43 3*2 | ||||
O (432) | [4,3]+ | 24 | S4 | 34 43 62 | ||||
I (532) | [5,3]+ | 60 | A5 | 65 103 152 | 120px |
Grup polihedral penuh
Weyl Schoe. (Orb.) | Notasi Coxeter | Urutan | Struktur abstrak | Bilangan Coxeter (h) | Cermin (m) | Diagram cermin | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonal | Stereografis | ||||||||
A3 Td (*332) | [3,3] | 24 | S4 | 4 | 6 | ||||
B3 Oh (*432) | [4,3] | 48 | S4×2 | 8 | 3 6 | ||||
H3 Ih (*532) | [5,3] | 120 | A5×2 | 10 | 15 |
Lihat pula
- Simbol Wythoff
- Daftar grup simetri bola
Referensi
- Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)
Pranala luar
- Weisstein, Eric W. "PolyhedralGroup". MathWorld.