Limit langsung

Dalam matematika, limit langsung adalah cara untuk membangun objek (biasanya besar) dari banyak objek (biasanya lebih kecil) yang disatukan dengan cara tertentu. Objek ini mungkin grup, gelanggang, ruang vektor atau dalam objek umum dari kategori. Cara mereka disatukan ditentukan oleh sistem homomorfisme (homomorfisme kelompok, homomorfisme gelanggang, atau secara umum morfisme dalam kategori) di antara objek-objek yang lebih kecil. Limit langsung benda ${\displaystyle A_{i}}$, di mana ${\displaystyle i}$ berkisar di beberapa himpunan terarah ${\displaystyle I}$, dilambangkan dengan ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$. (Ini adalah sedikit penyalahgunaan notasi karena menekan sistem homomorfisme yang penting untuk struktur batas.)

Batas langsung adalah kasus khusus dari konsep kolom di teori kategori. Limit langsung adalah ganda sampai limit invers yang juga merupakan kasus khusus limit dalam teori kategori.

Pertama kami akan memberikan definisi untuk struktur aljabar seperti grup dan modul, dan kemudian definisi umumnya, yang bisa digunakan dalam setiap kategori

Dalam bagian ini objek dipahami terdiri dari himpunan yang mendasari dengan struktur aljabar yang diberikan, sepertikelompok, gelanggang, modul (di atas gelanggang tetap), aljabar (di atas bidang tetap), dll. Dengan pemikiran ini, homomorfisme dipahami dalam pengaturan yang sesuai (grup homomorfisme, dll.) .

Karenanya ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ jadilah kumpulan diarahkan dipesan sebagian (perhatikan bahwa tidak semua pengarang memerlukan I untuk diarahkan). Maka A_• = (A_i)_{i ∈ I} menjadi keluarga objek indeks oleh ${\displaystyle I\,}$ dan ${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$ menjadi homomorfisme untuk semua ${\displaystyle i\leq j}$ dengan properti berikut:

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$ adalah identitas ${\displaystyle A_{i}\,}$ , dan
2. Kondisi kompatibilitas : ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$ untuk ${\displaystyle i\leq j\leq k}$; maka adalah ${\displaystyle A_{i}\xrightarrow {f_{ij}} A_{j}\xrightarrow {f_{jk}} A_{k}\;\;{\text{ adalah sama dengan }}\;\;A_{i}\xrightarrow {f_{ik}} A_{k}.}$

Setelah itu pasangan ${\displaystyle \langle A_{\bullet },f_{ij}\rangle }$ disebut sistem langsung melalui ${\displaystyle I}$. Peta f _ij disebut ikatan, menghubungkan, transisi, atau menghubungkan peta/morfisme dari sistem. Jika peta ikatan dipahami atau jika tidak perlu memberikan simbol (misalnya seperti dalam pernyataan beberapa teorema) maka peta ikatan akan sering dihilangkan (yaitu tidak tertulis); untuk alasan ini adalah umum untuk melihat pernyataan seperti "maka ${\displaystyle A_{\bullet }}$ menjadi sistem langsung. "^{[note 1]}

Batas langsung dapat ditentukan dalam sembarang kategori ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ melalui sifat universal. Maka ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ menjadi sistem langsung dari objek dan morfisme ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (seperti yang didefinisikan di atas). Sebuah target atau kocone adalah sepasang ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ dimana ${\displaystyle X\,}$ adalah objek pada ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ dan ${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$ adalah morfisme untuk masing-masing ${\displaystyle i\in I}$ seperti yang ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ bilamana ${\displaystyle i\leq j}$. limit dari sistem langsung ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ is a secara universal menolak target ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ dalam arti itu ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ adalah target dan untuk setiap target ${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$, ada morfisme yang unik ${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$ seperti yang ${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$ untuk setiap i . Diagram berikut

kemudian akan perjalanan untuk semua i, j.

Limit langsung sering kali dilambangkan

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

dengan sistem langsung ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ dan morfisme kanonik ${\displaystyle \phi _{i}}$ dipahami.

Tidak seperti objek aljabar, tidak setiap sistem langsung dalam kategori arbitrer memiliki batas langsung. Namun, jika ya, batas langsungnya unik dalam arti yang kuat: diberi batas langsung lain X′ ada unik isomorfisme X′ → X yang beralih dengan morfisme kanonik.

Batas langsung ditautkan ke limit invers melalui

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

Properti penting adalah bahwa mengambil batasan langsung dalam kategori modul adalah fungsi tepat. Ini berarti bahwa jika Anda mulai dengan sistem terarah dari urutan persis pendek ${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$ dan membentuk limit langsung, Anda mendapatkan urutan persis yang pendek ${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$.

Dalam literatur ditemukan istilah "batas terarah", "batas induktif langsung", "colimit terarah", "garis batas langsung "dan" batas induktif "untuk konsep batas langsung yang didefinisikan di atas. Istilah" batas induktif "bersifat ambigu, karena beberapa penulis menggunakannya untuk konsep umum kolom.

• Templat:Bierstedt An Introduction to Locally Convex Inductive Limits
• Templat:Bourbaki General Topology Part I Chapters 1-4
• Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics. Theory of sets, Translated from French, Paris: Hermann, MR 0237342 
• Templat:Dugundji Topology
• Templat:Grothendieck Topological Vector Spaces
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, 5 (edisi ke-2nd), Springer-Verlag 

Templat:Category theory