Polinomial laguerre



Polinomial Laguerre merupakan polinomial yang dinamai berdasarkan seorang matematikawan Perancis bernama Edmond Nicolas Laguerre. Polinomial ini dinotasikan dengan L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)} merupakan solusi dari persamaan diferensial:[1][2][3]

x y ″ + ( 1 − x ) y + n y = 0 {\displaystyle xy''+(1-x)y+ny=0}

Dengan n {\displaystyle n} merupakan bilangan real.

Selain persamaan diferensial, polinomial Laguerre juga dapat dicari dengan formula Rodrigues:[4]

L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( x n e − x ) {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})}

Polinomial Laguerre juga memiliki fungsi pembangkit:

Φ ( x , h ) = e − x h 1 − h 1 − h = ∑ n = 0 ∞ h n L n ( x ) {\displaystyle \Phi (x,h)={\frac {e^{-{\frac {xh}{1-h}}}}{1-h}}=\sum _{n=0}^{\infty }h^{n}L_{n}(x)}

Polinomial Laguerre Terasosiasi

Polinomial Laguerre terasosiasi dinotasikan dengan L n k ( x ) {\displaystyle L_{n}^{k}(x)} . Polinomial ini dapat diperoleh melalui cara-cara berikut:

  • Solusi dari persamaan diferensial Laguerre terasosiasi: x y ″ + ( k + 1 − x ) y ′ + n y = 0 {\displaystyle xy''+(k+1-x)y'+ny=0}
  • Turunan dari polinomial Laguerre: ( − 1 ) k d k d x k L n + k ( x ) {\displaystyle (-1)^{k}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n+k}(x)}
  • Formula Rodrigues untuk polinomial Laguerre terasosiasi: x − k e x n ! d n d x n ( x n + k e − x ) {\displaystyle {\frac {x^{-k}e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n+k}e^{-x})}

Polinomial Laguerre L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)} merupakan kasus khusus dari polinomial Laguerre terasosiasi dengan k = 0 {\displaystyle k=0} .

Sifat

Visualisasi

Grafik polinomial Laguerre untuk n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle n=0,1,2,3,4} dan 5 {\displaystyle 5}

Berikut merupakan polinomial Laguerre untuk n {\displaystyle n} dari 0 hingga 5:

n L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)}
0 1 {\displaystyle 1}
1 − x + 1 {\displaystyle -x+1}
2 1 2 ( x 2 − 4 x + 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)}
3 1 6 ( − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ) {\displaystyle {\frac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)}
4 1 24 ( x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24 ) {\displaystyle {\frac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)}
5 1 120 ( − x 5 + 25 x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120 ) {\displaystyle {\frac {1}{120}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)}

Ortogonalitas

Polinomial Laguerre memiliki sifat ortogonalitas berikut:

∫ 0 ∞ e − x L m ( x ) L n ( x ) d x = δ m n {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}L_{m}(x)L_{n}(x)dx=\delta _{mn}}

Untuk polinomial Laguerre terasosiasi, memiliki sifat ortogonalitas berikut:

∫ 0 ∞ x k e − x L m k ( x ) L n k ( x ) d x = δ m n Γ ( n + k + 1 ) Γ ( n + 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}L_{m}^{k}(x)L_{n}^{k}(x)dx=\delta _{mn}{\frac {\Gamma (n+k+1)}{\Gamma (n+1)}}}

Sifat Rekursif

Polinomial Laguerre memiliki sifat rekursif berikut:

  • L n + 1 ′ ( x ) − L n ′ ( x ) + L n ( x ) = 0 {\displaystyle L'_{n+1}(x)-L'_{n}(x)+L_{n}(x)=0}
  • ( n + 1 ) L n + 1 ( x ) − ( 2 n + 1 − x ) L n ( x ) + n L n − 1 ( x ) = 0 {\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)-(2n+1-x)L_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0}
  • L n ′ ( x ) − n L n ( x ) + n L n − 1 ( x ) = 0 {\displaystyle L'_{n}(x)-nL_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0}

Biografi Edmond Nicolas Laguerre

Edmond Nicolas Laguerre (9 April 1834 - 14 Agustus 1886) merupakan seorang matematikawan Prancis yang dikenal karena kajiannya mengenai metode aproksimasi dan polinomial Laguerre. Polinomial ini merupakan fungsi spesial yang ditemukan oleh Laguerre sebagai solusi untuk persamaan diferensial Laguerre dan dipublikasikan olehnya pada tahun 1879. Fungsi ini memiliki peran yang luas pada bidang fisika matematika dan matematika penerapan. Polinomial Laguerre menjadi solusi dari persamaan Schrödinger untuk atom seperti hidrogen, sistem listrik, dan sistem dinamis.[5]

Aplikasi

Dalam mekanika kuantum, persamaan Schrödinger pada atom mirip hidrogen diselesaikan dengan cara pemisahan variabel dalam bentuk koordinat bola/sferis. Fungsi gelombang pada bagian radial memiliki polinomial Laguerre di dalamnya. Bentuk persamaan gelombang pada bagian radialnya adalah:

R n l ( r ) = − ( 2 Z n a μ ) 3 ( n − l − 1 ) ! 2 n ( n + l ) ! e − Z r n a μ ( 2 Z r n a μ ) l L n − l − 1 2 l + 1 ( 2 Z r n a μ ) {\displaystyle R_{nl}(r)=-{\sqrt {({\frac {2Z}{na_{\mu }}})^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n(n+l)!}}}}e^{-{\frac {Zr}{na_{\mu }}}}({\frac {2Zr}{na_{\mu }}})^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}({\frac {2Zr}{na_{\mu }}})}

dimana R n l ( r ) {\displaystyle R_{nl}(r)} merupakan fungsi gelombang pada bagian radial dari atom mirip hidrogen.[6]

Referensi

  1. ^ Boas, Mary L. (2006). Mathematical methods in the physical sciences (edisi ke-3rd ed). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 0-471-19826-9. OCLC 61332593. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Laguerre Differential Equation". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2022-11-06. 
  3. ^ Cahaya, Adam B. (2022). Fungsi Khusus dan Persamaan Diferensial Parsial dalam Fisika Matematika. Jakarta: UI Publishing. ISBN 978-623-333-330-6.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Laguerre Polynomial". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2022-11-06. 
  5. ^ "Laguerre, Edmond Nicolas | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com. Diakses tanggal 2022-11-06. 
  6. ^ Gasiorowicz, Stephen (2003). Quantum physics (edisi ke-3rd ed). Hoboken, N.J.: Wiley. ISBN 0-471-42945-7. OCLC 51763992. Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)