Approssimazione per angoli piccoli

L'approssimazione per angoli piccoli consiste nel semplificare le funzioni trigonometriche di base a funzioni più semplici quando l'angolo è molto piccolo e tende a zero. L'approssimazione si basa sugli sviluppi di Taylor-MacLaurin troncati al secondo ordine. Si ha:^[1][2]

${\displaystyle \sin \theta \sim \theta ,\quad \cos \theta \sim 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}},\quad \tan \theta \sim \theta ,}$

dove ${\displaystyle \theta }$ è l'angolo in radianti.

Questa approssimazione è utile in molti ambiti di fisica e di ingegneria, tra cui meccanica, elettromagnetismo, ottica, e così via.

• 
  Figura 1. Paragone tra le funzioni trigonometriche dispari. Si vede che migliora l'approssimazione man mano che l'angolo si avvicina a 0.
• 
  Figura 2. Paragone tra la funzione coseno e la funzione 1- θ^2/2. Si vede che migliora l'approssimazione man mano che l'angolo si avvicina a 0.

La parte in rosso, ${\displaystyle d}$, è la differenza tra l'ipotenusa ${\displaystyle H}$ e il cateto ${\displaystyle A.}$ Questa differenza è piccola e, poiché ${\displaystyle A=H\cos \theta }$, si ha che il coseno è molto vicino a 1 e più precisamente

${\displaystyle \cos \theta \sim 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}.}$

L'altro cateto, ${\displaystyle O}$, è circa uguale all'arco in blu, ${\displaystyle s}$. Per la definizione di radiante, si ha

${\displaystyle \theta ={\frac {s}{A}}\implies s=\theta A.}$

Poiché inoltre

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {O}{\sin \theta }}&\implies \sin \theta ={\frac {O}{H}},\\A&={\frac {O}{\tan \theta }}&\implies \tan \theta ={\frac {O}{A}},\end{aligned}}}$

e dalla figura è facile notare come ${\displaystyle O\approx s}$ e ${\displaystyle H\approx A}$, si giunge dunque alla seguente conclusione.

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {\theta A}{A}}=\theta \implies \sin \theta \sim \tan \theta \sim \theta .}$

Gli sviluppi in serie di MacLaurin delle funzioni trigonometriche sono i seguenti:^[3]

${\displaystyle \sin \theta =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta ^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+o(\theta ^{8});}$

${\displaystyle \cos \theta =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta ^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+o(\theta ^{7});}$

${\displaystyle \tan \theta =\theta +{\frac {\theta ^{3}}{3}}+o(\theta ^{4}).}$

Nel primo caso, si nota che già il secondo termine decresce come il cubo del primo; quindi per valori abbastanza vicini a zero, come 0,01, il secondo termine e i successivi diventano molto piccoli, quindi trascurabili:

${\displaystyle \sin(0{,}01)=0{,}01+{\frac {0{,}000001}{3}}\simeq 0{,}01.}$

Pertanto, il seno di un angolo piccolo può essere approssimato al primo termine, cioè all'angolo stesso. Lo stesso ragionamento può essere applicato anche al coseno e alla tangente; ne segue che il coseno di un angolo piccolo è circa 1 e la tangente, rapporto tra seno e coseno, per angoli piccoli si comporta come il rapporto tra un angolo e 1; in conclusione, si hanno le seguenti equivalenze asintotiche:

${\displaystyle \sin \theta \sim \theta ,\quad \cos \theta \sim 1,\quad \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\sim \sin \theta \sim \theta .}$

Si può dimostrare, con il teorema del confronto, che^[4]

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1,\quad \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}={\frac {1}{2}},\quad \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}=1.}$

Allora si può dire che, per ${\textstyle \theta \to 0}$:

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}\sim 1,\quad {\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}\sim {\frac {1}{2}},\quad {\frac {\tan \theta }{\theta }}\sim 1.}$

Le precedenti approssimazioni si possono esprimere anche come

${\displaystyle \sin \theta \sim \theta ,\quad \cos \theta \sim 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}},\quad \tan \theta \sim \theta .}$

La figura 3 mostra gli errori relativi dovuti a questa approssimazione. Gli angoli ai quali l'errore relativo supera l'1% sono i seguenti:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta :\qquad \theta \simeq 0,244{\text{ radianti }}(14^{\circ });\\\cos \theta :\qquad \theta \simeq 0,664{\text{ radianti }}(38^{\circ });\\\tan \theta :\qquad \theta \simeq 0,176{\text{ radianti }}(10^{\circ }).\end{aligned}}}$

L'approssimazione del seno consente di semplificare il calcolo del periodo di un pendolo semplice. Ciò rende il moto del pendolo un moto armonico semplice.

• Tom Apostol, Calcolo 1, 9ª ed., Bollati Boringhieri, 1987 [1977], ISBN 88-339-5033-6.

• (EN) Taylor Series in MathWorld

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica