Codice MDS

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Un codice MDS (Maximum Distance Separable) è un codice per cui la diseguaglianza di Singleton vale come uguaglianza, ovvero:

${\displaystyle \ |C|={\frac {2^{n}}{\sum _{k=0}^{e}{n \choose k}}}}$

Dove:

• ${\displaystyle \ C}$ è un Codice binario, sottoinsieme di uno spazio di Hamming a dimensione n:

${\displaystyle \ C\subseteq H[n,2]}$

Il cui generico elemento è ${\displaystyle \ x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ con ${\displaystyle \ x_{i}\in \left\{0,1\right\}}$

• ${\displaystyle \ e}$ è il massimo numero di errori che il codice è in grado di correggere, ovvero detta ${\displaystyle \ d(C)}$ la distanza minima del codice:

${\displaystyle \ d(C)\geq 2e+1}$

Una volta definite la distanza tra due parole x e y di ${\displaystyle \ H[n,2]}$:

${\displaystyle \ \rho (x,y):=|\left\{i:x_{i}\neq y_{i}\right\}|}$

e l'insieme sfera di centro c e raggio r comprendente le parole di ${\displaystyle \ H[n,2]}$ aventi distanza da ${\displaystyle \ c}$ minore o uguale a r:

${\displaystyle \ S(c,r):=\left\{x\in H[n,2]:\rho (x,c)\leq r\right\}}$

La prima relazione implica che l'intero spazio ${\displaystyle \ H[n,2]}$ è partizionabile in sfere di raggio ${\displaystyle \ e}$ centrate su elementi del codice ${\displaystyle \ C}$, ovvero non esistono elementi di ${\displaystyle \ H[n,2]}$ che non cadano in una (e una sola) sfera di raggio ${\displaystyle \ e}$ centrata su un qualche elemento ${\displaystyle \ c\in C}$.

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