Dimostrazione per contrapposizione

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Nella logica, la contrapposta di una proposizione condizionale si forma negando entrambi i termini e invertendo il verso dell'implicazione logica. La contrapposta dell'affermazione "Se A è, allora è B" è la proposizione "Se non-B è, allora è non-A". La relativa operazione logica di inferenza immediata si chiama contrapposizione. Un'affermazione e la sua contrapposta sono logicamente equivalenti poiché la verità dell'una implica la verità dell'altra: o sono entrambe vere o sono entrambe false.^[1]

Nella matematica, la dimostrazione per contrapposizione o prova per contrapposizione è una regola di inferenza usata nelle dimostrazioni, in cui si deduce un'affermazione condizionale dalla sua contrapposta.^[2] In altre parole, la conclusione "se A , allora B " viene dedotta costruendo una prova dell'affermazione "se non è B , allora non è A". Tale approccio è in genere preferito se la prova della contrapposta risulta più semplice della prova dell'affermazione condizionale di partenza.

La seguente tavola di verità dimostra la validità della dimostrazione per contrapposizione:

p	q	${\displaystyle \lnot }$p	${\displaystyle \lnot }$q	p → q	${\displaystyle \lnot }$q → ${\displaystyle \lnot }$p
V	V	F	F	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V
F	F	V	V	V	V

• Dimostrazione per contraddizione (reductio ad impossibile): si assume come ipotesi che ${\displaystyle \neg A}$ sia vera. Si dimostra che ${\displaystyle \neg A\to B}$ è falsa, deducendo quindi che ${\displaystyle \neg A}$ è falsa e per doppia negazione che ${\displaystyle A}$ è vera. Si noti che nella dimostrazione per assurdo si procede in un modo ancora diverso, assumendo che la tesi ${\displaystyle B}$ sia vera per dimostrare che ${\displaystyle B\to \neg B}$.
• Dimostrazione per contrapposizione: per dimostrare che ${\displaystyle A\to B}$, si dimostra la proposizione contrapposta che è ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$.

Sia ${\displaystyle x}$ un numero intero per dimostrare che se ${\displaystyle x^{2}}$ è pari, allora anche ${\displaystyle x}$ è pari.

Sebbene possa essere data una dimostrazione diretta, qui si sceglie di dimostrarlo per contrapposizione. La contrapposta della proposizione precedente è:

Se ${\displaystyle x}$ non è pari, allora ${\displaystyle x^{2}}$ non è pari

e, poiché gli unici numeri interi non pari sono quelli dispari, tale proposizione equivale a:

Se ${\displaystyle x}$ è dispari, allora ${\displaystyle x^{2}}$è dispari

L'ultima proposizione può essere provata come segue: se ${\displaystyle x}$ è dispari, esso è del tipo ${\displaystyle 2n+1}$ per qualche ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ e, sfruttando la formula del quadrato del binomio e un raccoglimento parziale, troviamo:

${\textstyle x^{2}=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1=2(2n^{2}+2)+1}$

da cui segue che ${\displaystyle x^{2}}$ è dispari, come volevamo.

Avendo usato la contrapposta, possiamo inferire che la proposizione originale è vera.^[3]

• Contrapposizione
• Modus tollens
• Reductio ad absurdum

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