In teoria delle probabilità la distribuzione normale inversa (o gaussiana inversa ) è una distribuzione di probabilità continua dipendente da due parametri definita sui numeri reali positivi. È usata tra l'altro nel Modello lineare generalizzato.
Definizione Le funzioni di densità di alcune distribuzioni normali inverse. Una distribuzione normale inversa con parametri λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} e μ > 0 {\displaystyle \mu >0} ha come funzione di densità di probabilità
f ( x ) = ( λ 2 π x 3 ) 1 2 e − λ ( x − μ ) 2 2 μ 2 x {\displaystyle f(x)=\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\displaystyle -{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}}
per x > 0.
Caratteristiche Il valore atteso di una variabile casuale normale inversa X è
E ( X ) = μ {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu } . La varianza è
Var ( X ) = μ 3 λ {\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}} . per cui la deviazione standard
σ = μ 3 λ {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}} e il coefficiente di variazione è
VarK ( X ) = μ λ {\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}} . Il coefficiente di asimmetria viene indicato con
v ( X ) = 3 μ λ {\displaystyle \operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}} . La funzione caratteristica è data da
ϕ X ( s ) = e λ μ ( 1 − 1 − 2 μ 2 i s λ ) {\displaystyle \phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}} . mentre la funzione generatrice dei momenti della v.c. normale inversa è
m X ( s ) = e λ μ ( 1 − 1 − 2 μ 2 s λ ) {\displaystyle m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}} .
Teorema
Somma di v.c. normali inverse identiche Siano X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} tutte variabili casuali distribuite come una normale inversa con i parametri λ {\displaystyle \lambda } e μ {\displaystyle \mu } , allora la loro media 1 n ∑ i = 1 n X i {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}} è nuovamente una v.c. normale inversa, ma con i parametri n λ {\displaystyle n\lambda } e μ {\displaystyle \mu } .
Voci correlate
Collegamenti esterni (EN ) Eric W. Weisstein, Distribuzione normale inversa , su MathWorld , Wolfram Research. Controllo di autorità Thesaurus BNCF 57814 · LCCN (EN ) sh88003549 · BNF (FR ) cb122822892 (data) · J9U (EN , HE ) 987007543920805171
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