Disuguaglianza di Bonse

In teoria dei numeri, la disuguaglianza di Bonse è una disuguaglianza tra numeri primi, dimostrata per vie elementari da H. Bonse nel 1907[1]. Detto p n {\displaystyle p_{n}} l' n {\displaystyle n} -esimo numero primo, essa afferma che

p n + 1 2 < p 1 p 2 . . . p n {\displaystyle p_{n+1}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}}

per n > 3 {\displaystyle n>3} . Utilizzando questa disuguaglianza, Bonse dimostrò che 30 è il più grande intero n {\displaystyle n} con la seguente proprietà: se un numero naturale k {\displaystyle k} , con 1 < k < n {\displaystyle 1<k<n} , è tale che il massimo comune divisore ( n , k ) = 1 {\displaystyle (n,k)=1} , allora k {\displaystyle k} è un numero primo.

Bonse dimostrò anche la disuguaglianza più forte:

p n + 1 3 < p 1 p 2 . . . p n {\displaystyle p_{n+1}^{3}<p_{1}p_{2}...p_{n}}

per n > 5 {\displaystyle n>5} .

Queste disuguaglianze rafforzano la seguente:

p n + 1 < p 1 p 2 . . . p n {\displaystyle p_{n+1}<p_{1}p_{2}...p_{n}}

che è conseguenza immediata della dimostrazione di Euclide del teorema dell'infinità dei numeri primi.

Miglioramenti e disuguaglianze analoghe

M. Dalezman dimostrò nel 2000[2] che

p n + 1 p n + 2 < p 1 p 2 . . . p n {\displaystyle p_{n+1}p_{n+2}<p_{1}p_{2}...p_{n}}

per n > 3 {\displaystyle n>3} .

J. Sandór dimostrò alcune disuguaglianze simili nel 1988[3], tra cui:

p n + 5 2 + p [ n 2 ] 2 < p 1 p 2 . . . p n {\displaystyle p_{n+5}^{2}+p_{[{\frac {n}{2}}]}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}}

per n > 23 {\displaystyle n>23} .

L. Pósa dimostrò nel 1960[4] che, per ogni k > 1 {\displaystyle k>1} , esiste n k {\displaystyle n_{k}} tale che:

p n + 1 k < p 1 p 2 . . . p n {\displaystyle p_{n+1}^{k}<p_{1}p_{2}...p_{n}}

per n ≥ n k {\displaystyle n\geq n_{k}} .

L. Panaitopol dimostrò nel 2000[5] che è sufficiente scegliere n k = 2 k {\displaystyle n_{k}=2k} e, in particolare, dimostrò che:

p n + 1 n − π ( n ) < p 1 p 2 . . . p n {\displaystyle p_{n+1}^{n-\pi (n)}<p_{1}p_{2}...p_{n}}

dove π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} è la funzione enumerativa dei primi.

Note

  1. ^ H. Bonse, Üer eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung, Arch. Math. Phys. 12 (1907), pp. 292–295.
  2. ^ M. Dalezman, From 30 to 60 is Not Twice as Hard, Mathematics Magazine 73 (2000) pp. 151–153
  3. ^ J. Sandór, Uber die Folge der Primzahlen, Mathematica (Cluj), 30(53)(1988), 67–74
  4. ^ L. Pósa, Über eine Eigenschaft der Primzahlen, Mat. Lapok, 11(1960), 124–129.
  5. ^ L. Panaitopol, An inequality involving prime numbers, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 11 (2000), pp. 3–35.

Bibliografia

  • J. V. Uspensky, M. A. Heaslet, Elementary Number Theory, McGraw Hill, 1939, p. 87, ISBN 978-0-07-066750-1.
  • Hans Rademacher, Otto Toplitz, The enjoyment of mathematics, Princeton Univ. Press, 1957.
  • David Wells, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, Wiley, 2005, p. 21, ISBN 0-471-46234-9.
  • Robert J. Betts, Using Bonse's Inequality to Find Upper Bounds on Prime Gaps, Journal of Integer Sequences, 10, 2007, Versione online.
  • G. van Golstein Brouwers, D. Bamberg, J. Cairns, "Totally Goldbach numbers and related conjectures". Australian Mathematical Society Gazette. Vol 31(4) (2004), p. 254. Versione online.
  • József Sándor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Pres, 2002, ISBN 1-931233-51-9, pp. 238–240. versione online
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