In fluidodinamica, e in particolare nell'ambito del moto a potenziale può talvolta essere utile generalizzare la famosa equazione di Bernoulli per il caso di flusso non stazionario.
L'Equazione di Eulero per un fluido incomprimibile si riduce a:
dove
è la densità del fluido,
è la sua accelerazione,
è la pressione,
è il vettore accelerazione di gravità. La derivata materiale a primo membro è esprimibile come:
Introducendo ora l'ipotesi di flusso irrotazionale
si avrà:
Sempre grazie alla condizione di irrotazionalità, la velocità è esprimibile come
, dove la funzione scalare
è detta potenziale di velocità. Quindi avremo:
Sostituendo ora quanto ottenuto all'interno dell'equazione di Eulero otterremo:
da cui, essendo
:
Si ottiene infine:
che è l'equazione di Bernoulli per flusso newtoniano, incomprimibile, non viscoso (ed in generale non stazionario) espressa in termini del potenziale di velocità
, mentre
è una generica funzione del tempo. Senza perdere di generalità, è comunque possibile porre
Bibliografia
- Batchelor G. K. (1967), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press