Equazione di Bernoulli instazionaria

In fluidodinamica, e in particolare nell'ambito del moto a potenziale può talvolta essere utile generalizzare la famosa equazione di Bernoulli per il caso di flusso non stazionario.

L'Equazione di Eulero per un fluido incomprimibile si riduce a:

${\displaystyle \rho {\frac {D^{2}{\vec {r}}}{Dt^{2}}}=-\nabla p+\rho {\textbf {g}}\ \ ,}$

dove ${\displaystyle \rho }$ è la densità del fluido, ${\displaystyle {\frac {D^{2}{\vec {r}}}{Dt^{2}}}}$ è la sua accelerazione, ${\displaystyle p}$ è la pressione, ${\displaystyle {\textbf {g}}}$ è il vettore accelerazione di gravità. La derivata materiale a primo membro è esprimibile come:

${\displaystyle {\frac {D^{2}{\vec {r}}}{Dt^{2}}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}+({\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}\cdot \nabla ){\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left({\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}\right)^{2}-{\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}\times (\nabla \times {\frac {D{\vec {r}}}{Dt}})\ \ .}$

Introducendo ora l'ipotesi di flusso irrotazionale ${\displaystyle (\nabla \times {\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}=0)}$ si avrà:

${\displaystyle {\frac {D^{2}{\vec {r}}}{Dt^{2}}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left({\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}\right)^{2}\ \ .}$

Sempre grazie alla condizione di irrotazionalità, la velocità è esprimibile come ${\displaystyle {\frac {D{\vec {r}}}{Dt}}=\nabla \Phi }$, dove la funzione scalare ${\displaystyle \Phi }$ è detta potenziale di velocità. Quindi avremo:

${\displaystyle {\frac {D^{2}{\vec {r}}}{Dt^{2}}}={\frac {\partial \nabla \Phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {|\nabla \Phi |^{2}}{2}}\right)\ \ .}$

Sostituendo ora quanto ottenuto all'interno dell'equazione di Eulero otterremo:

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \nabla \Phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {|\nabla \Phi |^{2}}{2}}\right)\right]=-\nabla p+\rho {\textbf {g}}\ \ ,}$

da cui, essendo ${\displaystyle {\textbf {g}}=-g{\textbf {e}}_{z}}$:

${\displaystyle \nabla \left[\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho {|\nabla \Phi |^{2}}+p+\rho {\textbf {g}}z\right]=0\ \ .}$

Si ottiene infine:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho {|\nabla \Phi |^{2}}+p+\rho {\textbf {g}}z=F(t)\ \ ,}$

che è l'equazione di Bernoulli per flusso newtoniano, incomprimibile, non viscoso (ed in generale non stazionario) espressa in termini del potenziale di velocità ${\displaystyle \Phi }$, mentre ${\displaystyle F(t)}$ è una generica funzione del tempo. Senza perdere di generalità, è comunque possibile porre ${\displaystyle F(t)=cost.}$

• Batchelor G. K. (1967), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press