Fenomeno di Runge
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In analisi numerica il fenomeno di Runge è un problema relativo all'interpolazione polinomiale su nodi equispaziati con polinomi di grado elevato. Esso consiste nell'aumento di ampiezza dell'errore in prossimità degli estremi dell'intervallo.
È stato scoperto da Carl David Tolmé Runge mentre studiava il comportamento degli errori dell'interpolazione polinomiale per approssimare alcune funzioni.
Problema
Consideriamo la funzione:
Runge trovò che interpolando questa funzione in un insieme di punti equidistanti nell'intervallo , con un polinomio di grado , l'interpolazione risultante oscilla in ampiezza verso gli estremi dell'intervallo (in questo caso e ).
È inoltre possibile provare che tale errore tende all'infinito all'aumentare del grado del polinomio:
Soluzione
Il controesempio di Runge mostra che non è conveniente usare polinomi di grado elevato su nodi equispaziati per interpolare una funzione. Tuttavia è possibile ottenere uno schema di interpolazione il cui errore diminuisca all'aumentare del numero di nodi utilizzando i nodi di Čebyšëv in alternativa ai punti equidistanti. Altre alternative sono l'uso dell'interpolazione spline o l'uso dell'interpolazione composita, suddividendo l'intervallo di interpolazione in più parti e calcolando su ciascun sottointervallo un polinomio interpolante di grado non elevato (ad esempio grado 1 o 2).
Voci correlate
- Fenomeno di Gibbs per le funzioni sinusoidali
- Spline cubica di Hermite
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