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Qui di seguito verranno presentate alcune identità vettoriali, cioè delle uguaglianze riguardanti campi vettoriali e campi scalari che risultano verificate indipendentemente dalle variabili scelte.
Queste relazioni risultano utili nei problemi di calcolo vettoriale, ad esempio nella derivazione delle onde elettromagnetiche a partire dalle equazioni di Maxwell.
Nel testo indicheremo con f, g i campi scalari e con A, B, C i campi vettoriali.
Identità vettoriali generiche
Triplo prodotto
![{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4e2cf38d263142aadc703fc05cf458de50dfa2)
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fd23ffb5847e3148b683b2812659b29a00b6db)
da cui si ha
![{\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb3aa0d7980bf0e550b5a745f1ab31477dcf47e)
ed in particolare
![{\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=|\mathbf {A} |^{2}|\mathbf {B} |^{2}-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09984ff2aa2964b482b37ff5bf9d58d2fe824de5)
Proprietà degli operatori vettoriali
Proprietà distributiva
![{\displaystyle \nabla (f+g)=\nabla f+\nabla g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec92a07ac4919ddac8f9ffa5e77a9c7fa2ad879)
![{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6fd888e99a731b499017914935a0f7cdb4b2310)
![{\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb85fb90013ef15647cec1cf1f276ba5bba0779)
Proprietà del prodotto scalare
![{\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d4ed05f517b700c60a7fe8b44de356e857c255)
Proprietà del prodotto vettoriale
![{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {B} \cdot \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot \nabla \times \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e9a4760aaa973a86c70df2e2bbf72445ad129e)
![{\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} -(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d482dff61e721419e0108b00530d3c052d81bdf2)
Prodotto tra scalari e vettori
![{\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d27f6e61a59a516822d5fab9c8adbf3b4fe2612)
![{\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {A} )=\nabla f\cdot \mathbf {A} +f\nabla \cdot \mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5772adf2fd62882eae5f9bbbac1d816c9f8576)
![{\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {A} )=\nabla f\times \mathbf {A} +f\nabla \times \mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87d317ddbc1e06ed1ef67575277a444c41c8f64)
Combinazione di operatori vettoriali
Divergenza del gradiente
![{\displaystyle \nabla \cdot \nabla f=\nabla ^{2}f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5bc5bc2f0efc7a40c8330e5a9082dc7f122ee9)
L'operatore
viene detto operatore di Laplace (o laplaciano) e viene anche indicato con
.
Rotore del gradiente
![{\displaystyle \nabla \times \nabla f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7657f22df2c178fdab95b8f35f766f91143e13be)
Divergenza del rotore
![{\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01075a8ef5304cd733e4e86eedaf924d22df17b)
Rotore del rotore
![{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-{\nabla }^{2}\mathbf {F} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a78212ff13fbbc09fea39bbbafb0a1b1421532d)
Altre identità
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {A} ^{2}=\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da4e70f3cf6b7a89d2cd6d936d2a22e89ccc9c2)
Voci correlate
- Calcolo vettoriale
- Divergenza
- Gradiente
- Rotore (matematica)
- Teorema del rotore
- Teorema della divergenza
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